题目

15.一质量为2kg的尘埃在宇宙中飞行(假如其做平-|||-面 运 动), 位置矢量表达式为 =(3(t)^2-5t+6)i+-|||-.(2(t)^3+5)i(s1) ,有关尘埃的运动情况,下列结论错-|||-误的是 () 。-|||-(1)2s时的加速度为 (6i+12j)mcdot (s)^-2 ;-|||-(2)1s到2s时间内平均速度为 (4i+14j)mcdot (s)^-1 ;-|||-(3)2s时的动能为 (7i+24j)J ;-|||-(4)1s到2s时间内受到的冲量为 (12i+36j)kgcdot mcdot (s)^--|||-1。-|||-A (1)(3)-|||-B (3)-|||-C (4)

题目解答

答案

:由于尘埃做平面运动,所以可以分为x轴和y轴方向的分量,即 $x=3{t}^{2}-5t+6$ $y=2{t}^{3}+5$ 对x求导得 $v_x=6t-5$ 对y求导得 $v_y=6{t}^{2}+5$ 对x求导得 $a_x=6$ 对y求导得 $a_y=12t$ 所以 $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ $=\sqrt{36+144{t}^{2}}$ 所以(1)错误。 1s到2s时间内平均速度为 $\overline{v}=\frac{v_2-v_1}{t}$ $=\frac{7-(-1)}{1}=8m\cdot {s}^{-1}$ 所以(2)错误。 2s时的动能为 $E_k=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}mv_y^2$ $=\frac{1}{2}\times 2\times (7^2+14^2)=232J$ 所以(3)错误。 1s到2s时间内受到的冲量为 $I=mv_2-mv_1$ $=2\times (14-(-1))=30kg\cdot m\cdot {s}^{-1}$ 所以(4)错误。
A

解析

步骤 1：分析位置矢量表达式
给定位置矢量表达式为 $r=(3{t}^{2}-5t+6)i+(2{t}^{3}+5)j$。根据矢量分解，可以将位置矢量分解为x轴和y轴方向的分量，即 $x=3{t}^{2}-5t+6$ 和 $y=2{t}^{3}+5$。

步骤 2：计算速度和加速度
对x求导得 $v_x=6t-5$，对y求导得 $v_y=6{t}^{2}+5$。对x求导得 $a_x=6$，对y求导得 $a_y=12t$。因此，加速度为 $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{36+144{t}^{2}}$。当t=2s时，$a=(6i+12j)m\cdot {s}^{-2}$，所以(1)正确。

步骤 3：计算1s到2s时间内的平均速度
1s到2s时间内平均速度为 $\overline{v}=\frac{v_2-v_1}{t}=\frac{(6\times2-5)-(6\times1-5)}{1}=7m\cdot {s}^{-1}$，所以(2)错误。

步骤 4：计算2s时的动能
2s时的动能为 $E_k=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}mv_y^2=\frac{1}{2}\times 2\times (7^2+14^2)=232J$，所以(3)错误。

步骤 5：计算1s到2s时间内受到的冲量
1s到2s时间内受到的冲量为 $I=mv_2-mv_1=2\times (14-(-1))=30kg\cdot m\cdot {s}^{-1}$，所以(4)错误。