题目
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 (0)=1, (1)=0.-|||-求证在(0,1)内至少存在一点c,使得-|||-'(c)=-dfrac (f(c))(c).
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $g(x) = xf(x)$，其中 $x \in [0,1]$。这个函数在区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微。
步骤 2：验证辅助函数的端点值
计算辅助函数 $g(x)$ 在端点的值：$g(0) = 0 \cdot f(0) = 0$，$g(1) = 1 \cdot f(1) = 0$。因此，$g(0) = g(1) = 0$。
步骤 3：应用罗尔中值定理
由于 $g(x)$ 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微，且 $g(0) = g(1)$，根据罗尔中值定理，存在 $c \in (0,1)$，使得 $g'(c) = 0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数：$g'(x) = f(x) + xf'(x)$。因此，$g'(c) = f(c) + cf'(c)$。
步骤 5：求解导数为零的条件
由于 $g'(c) = 0$，则有 $f(c) + cf'(c) = 0$。从而得到 $f'(c) = -\dfrac{f(c)}{c}$。
构造辅助函数 $g(x) = xf(x)$，其中 $x \in [0,1]$。这个函数在区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微。
步骤 2：验证辅助函数的端点值
计算辅助函数 $g(x)$ 在端点的值：$g(0) = 0 \cdot f(0) = 0$，$g(1) = 1 \cdot f(1) = 0$。因此，$g(0) = g(1) = 0$。
步骤 3：应用罗尔中值定理
由于 $g(x)$ 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微，且 $g(0) = g(1)$，根据罗尔中值定理，存在 $c \in (0,1)$，使得 $g'(c) = 0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数：$g'(x) = f(x) + xf'(x)$。因此，$g'(c) = f(c) + cf'(c)$。
步骤 5：求解导数为零的条件
由于 $g'(c) = 0$，则有 $f(c) + cf'(c) = 0$。从而得到 $f'(c) = -\dfrac{f(c)}{c}$。