题目
设 f(x) 的一个原函数为 (1)/(x)，则 f'(x) 为 ( )A. ln |x|B. (1)/(x)C. -(1)/(x^2)D. (2)/(x^3)
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{1}{x}$，则 $f'(x)$ 为 ( ) A. $\ln |x|$ B. $\frac{1}{x}$ C. $-\frac{1}{x^2}$ D. $\frac{2}{x^3}$
题目解答
答案
我们来一步一步分析这道题：
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### **题目：**
设 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) $ 为（ ）
选项：
- A. $ \ln |x| $
- B. $ \frac{1}{x} $
- C. $ -\frac{1}{x^2} $
- D. $ \frac{2}{x^3} $
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### **第一步：理解题意**
题中说：**“设 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ \frac{1}{x} $”**。
这句话的意思是：
> $ \frac{1}{x} $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，也就是说：
$$
f(x) = \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}
$$
因为原函数是通过积分得到的，所以 $ f(x) $ 是 $ \frac{1}{x} $ 的导数。
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### **第二步：求 $ f'(x) $**
我们现在知道：
$$
f(x) = -\frac{1}{x^2}
$$
要求的是：
$$
f'(x) = \left( -\frac{1}{x^2} \right)' = \frac{d}{dx} \left( -x^{-2} \right)
$$
根据导数公式：
$$
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
$$
所以：
$$
f'(x) = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}
$$
---
### **第三步：选择正确答案**
我们求得：
$$
f'(x) = \frac{2}{x^3}
$$
所以正确答案是：
$$
\boxed{\text{D. } \frac{2}{x^3}}
$$
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### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{D}
$$
解析
原函数与导数的关系是本题的核心知识点。题目中给出$f(x)$的一个原函数为$\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{x}$是$f(x)$的不定积分结果。因此，$f(x)$是$\frac{1}{x}$的导数。接下来需要对$f(x)$再次求导得到$f'(x)$，需注意两次求导的顺序，避免混淆选项。
步骤1：求$f(x)$
根据原函数的定义，$\frac{1}{x}$是$f(x)$的原函数，因此：
$f(x) = \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}$
步骤2：求$f'(x)$
对$f(x) = -\frac{1}{x^2}$再次求导：
$f'(x) = \left( -x^{-2} \right)' = (-2)(-1)x^{-3} = \frac{2}{x^3}$
步骤3：匹配选项
计算结果$\frac{2}{x^3}$对应选项D。