题目
若随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=} 1, & 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1 0, & 其它 ，则随机变量 X与 Y（）A. 独立同分布B. 独立不同分布C. 不独立同分布D. 不独立也不同分布
若随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为 $f(x,y)=\begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & 其它 \end{cases}$，则随机变量 $X$与 $Y$（）
A. 独立同分布
B. 独立不同分布
C. 不独立同分布
D. 不独立也不同分布
题目解答
答案
A. 独立同分布
解析
步骤 1：求边缘概率密度
- 对于 $X$，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， \[ f_X(x) = \int_0^1 f(x, y) \, dy = \int_0^1 1 \, dy = 1 \] 其他情况为 0。
- 对于 $Y$，当 $0 \leq y \leq 1$ 时， \[ f_Y(y) = \int_0^1 f(x, y) \, dx = \int_0^1 1 \, dx = 1 \] 其他情况为 0。
步骤 2：判断独立性
- 联合密度 $f(x, y) = 1$（在 $[0,1]\times[0,1]$ 内），等于边缘密度乘积 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1$，故独立。
步骤 3：比较分布
- 边缘密度函数相同，均为在 $[0,1]$ 上的均匀分布，故同分布。
- 对于 $X$，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， \[ f_X(x) = \int_0^1 f(x, y) \, dy = \int_0^1 1 \, dy = 1 \] 其他情况为 0。
- 对于 $Y$，当 $0 \leq y \leq 1$ 时， \[ f_Y(y) = \int_0^1 f(x, y) \, dx = \int_0^1 1 \, dx = 1 \] 其他情况为 0。
步骤 2：判断独立性
- 联合密度 $f(x, y) = 1$（在 $[0,1]\times[0,1]$ 内），等于边缘密度乘积 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1$，故独立。
步骤 3：比较分布
- 边缘密度函数相同，均为在 $[0,1]$ 上的均匀分布，故同分布。