题目
18.求微分方程y'+y=e^-x的通解.
18.求微分方程$y'+y=e^{-x}$的通解.
题目解答
答案
将微分方程 $ y' + y = e^{-x} $ 两边乘以积分因子 $ e^x $，得：
\[ e^x y' + e^x y = 1 \]
左边可写为全导数形式：
\[ \frac{d}{dx}(e^x y) = 1 \]
积分得：
\[ e^x y = x + C \]
解得通解：
\[ y = e^{-x}(x + C) \]
**答案：**
\[
\boxed{y = e^{-x}(x + C)}
\]
解析
本题考察一阶线性非齐次微分方程的通解求解，解题思路如下：
步骤1：识别方程类型
给定方程 $y' + y = e^{-x}$ 是一阶线性非齐次微分方程，标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
步骤2：计算积分因子
一阶线性微分方程的积分因子公式为 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。。
代入 $P(x)=1$：
$\[
\mu(x) = e^{\^{\int 1dx} = e^x$
步骤3：方程两边同乘积分因子
将方程两边同乘 $e^x$：
$e^x y' + e^x y = e^x \cdot e^{-x}$
右边化简：$e^x \cdot e^{-x} = 1$，左边可改写为全导数形式：
$\frac{d}{dx}(e^x y) = 1$
步骤4：积分求通解
对等式两边积分：
$\int \frac{d}{dx}(e^x y)dx = \int 1dx$
]
得：$e^x y = x + C$（$C$ 为常数）。
步骤5：解出 $y$
两边同乘 $e^{-x}$：
$y = e^{-x}(x + C)$