如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明它是平行四边形.

考查要点：本题主要考查向量法证明几何图形性质的能力，重点在于利用向量的中点公式和向量相等的条件来推导平行四边形的判定。

解题核心思路：

1. 明确对角线互相平分的条件：对角线的交点是两条对角线的中点，利用中点公式建立向量关系。
2. 通过向量运算推导边的关系：通过向量加减法，证明对边向量相等，从而得出对边平行且相等，满足平行四边形的判定条件。

破题关键点：

• 中点公式：若点$O$是线段$AC$的中点，则$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$（位置向量关系）。
• 向量相等的判定：若$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，则$AB$与$DC$平行且相等，四边形为平行四边形。

步骤1：设定位置向量
设四边形$ABCD$的顶点$A$、$B$、$C$、$D$的位置向量分别为$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$，对角线$AC$和$BD$的交点为$O$。

步骤2：应用中点公式
由于$O$是对角线$AC$和$BD$的中点，根据中点公式：
$\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{o}, \quad \vec{b} + \vec{d} = 2\vec{o}$
联立得：
$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

步骤3：推导边向量关系
计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{DC}$：
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{DC} = \vec{c} - \vec{d}$
将$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{a}$代入$\overrightarrow{DC}$：
$\overrightarrow{DC} = (\vec{b} + \vec{d} - \vec{a}) - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = \overrightarrow{AB}$

结论：
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，说明$AB$与$DC$平行且相等，因此四边形$ABCD$是平行四边形。