12．下列命题中，不正确的是( )（A）积分∮|z−a|=r1z−adz的值与半径 r(r>0) 的大小无关|∮(x2+iy2)dz|≤2（B）c,其中 c 为连接 −i 到 i 的线段（C）若在区域 D 内有 f'( z)=g( z) ，则在 D 内 g'(z) 存在且解析（D）若 f (z ) 在 0<|z|<1 内解析，且沿任何圆周 c:|z|=r(0<1) 的积分等于零，则 f (z ) 在

题目考察知识

本题主要考察复变函数的积分、解析函数的性质等知识，包括柯西积分定理、积分不等式、解析函数的导数性质以及解析函数的奇点与解析性判断。

各选项分析

选项A

积分$\oint_{|z-a|=r}\frac{1}{z-a}dz$的值与半径$r(r>0)$的大小无关。
解析：根据柯西积分公式，对于$f(z)=\frac{1}{z-a}$，其在$|z-a|=r$内有奇点$z=a$，但直接计算积分：
取$z=a+re^{i\theta}$，$dz=ire^{i\theta}d\theta$，则
$\oint_{|z-a|=r}\frac{1}{z-a}dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}d\theta=\int_0^{2\pi}id\theta=2\pi i$
结果为常数$2\pi i$，与$r$无关。选项A正确。

选项B

$|\oint_c (x^2+iy^2)dz|\leq2$，其中$c$为连接$-i$到$i$的线段。
解析：

1. 参数化线段$c$：$z(t)=it$，$t\in[-1,1]$，$dz=idt$，$x=0$，$y=t$，则
   $\oint_c (x^2+iy^2)dz=\int_{-1}^1 (0+i t^2)\cdot idt=\int_{-1}^1 i^2 t^2 dt=\int_{-1}^1 -t^2 dt=-\frac{2}{3}$
2. 积分模长：$|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}\leq2$，不等式成立。选项B正确。

选项C

若在区域$D$内有$f'(z)=g(z)$，则在$D$内$g'(z)$存在且解析。
解析：根据解析函数的性质，解析函数的导数仍解析（高阶导数定理）。若$f(z)$在$D$内解析，则$f'(z)=g(z)$也在$D$内解析，从而$g'(z)$存在且解析。选项C正确。

选项D

若$f(z)$在$0<|z|<1$内解析，且沿任何圆周$c:|z|=r(0 解析：反例：$f(z)=\frac{1}{z}$在$0<|z|<1$内解析，沿任何$|z|=r$的积分$\oint\frac{1}{z}dz=2\pi i\neq0$，不满足条件；
再取$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$，在$0<|z|<1$内解析，沿$|z|=r$的积分：$\oint e^{\frac{1}{z}}dz=0$（奇点$z=0$是非孤立奇点，柯西积分定理不直接适用，但计算得积分值为$0$），但$z=0$是$e^{\frac{1}{z}}$的本质奇点，不解析。
选项D错误。