6.(单选题，5分) 设曲面z=xy上点P的切平面平行于平面4x+2y+z=16，则P点到已知平面的距离是（）。A. 21B. sqrt(21)C. (24)/(sqrt(21))D. (1)/(21)

考查要点：本题主要考查曲面切平面的法向量求解、平面平行的条件，以及点到平面的距离公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定曲面在点P处的法向量：利用曲面方程求梯度，得到法向量。
2. 平面平行条件：两平面平行时法向量成比例，由此建立方程求解点P的坐标。
3. 点到平面的距离计算：代入点到平面的距离公式求解。

破题关键点：

• 法向量关系：曲面切平面与已知平面平行，说明它们的法向量成比例。
• 坐标求解：通过比例关系解出点P的坐标，注意曲面方程的约束。
• 公式应用：正确代入点到平面的距离公式，注意符号和运算顺序。

步骤1：求曲面在点P处的法向量

曲面方程为 $z = xy$，可改写为 $F(x, y, z) = xy - z = 0$。
法向量为梯度 $\nabla F = (y, x, -1)$，在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 处，法向量为 $(y_0, x_0, -1)$。

步骤2：利用平面平行条件建立方程

已知平面 $4x + 2y + z = 16$ 的法向量为 $(4, 2, 1)$。
因两平面平行，存在标量 $k$ 使得 $(y_0, x_0, -1) = k(4, 2, 1)$，即：
$\begin{cases}y_0 = 4k \\x_0 = 2k \\-1 = k\end{cases}$
解得 $k = -1$，代入得 $x_0 = -2$，$y_0 = -4$，$z_0 = x_0 y_0 = 8$，故 $P(-2, -4, 8)$。

步骤3：计算点P到平面的距离

平面方程为 $4x + 2y + z - 16 = 0$，代入点到平面距离公式：
$d = \frac{|4(-2) + 2(-4) + 8 - 16|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-8 -8 +8 -16|}{\sqrt{21}} = \frac{24}{\sqrt{21}}$