题目
46【判断题】(2分)lim_(xtoinfty)(sin x)/(x)=1. ( )A.错B.对
46【判断题】(2分)
$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1.$ ( )
A.错
B.对
题目解答
答案
$\sin x$ 的值域为 $[-1, 1]$，当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$。由夹逼定理：
\[
-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}
\]
两边极限均为 0，故：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \neq 1
\]
因此，答案为 $\boxed{A}$。
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及三角函数与无穷大量相除的极限问题，需要掌握夹逼定理的应用。
解题核心思路：
- 明确$\sin x$的有界性：$\sin x$的值域为$[-1,1]$，即无论$x$多大，$\sin x$的绝对值始终不超过1。
- 分析分母$x$的趋势：当$x \to \infty$时，分母$x$趋于无穷大，导致$\frac{1}{x}$趋于0。
- 结合夹逼定理：通过不等式$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$，两边极限均为0，从而确定原极限值。
关键点：
- 有界函数与无穷大量的商的极限为0。
- 夹逼定理是解决此类问题的核心工具。
步骤1：分析$\sin x$的有界性
$\sin x$的取值范围为$[-1,1]$，因此：
$-1 \leq \sin x \leq 1$
步骤2：构造不等式
将不等式两边同时除以$x$（当$x > 0$时，不等号方向不变）：
$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
步骤3：应用夹逼定理
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{x} \right) = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
根据夹逼定理，原极限为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$
结论：原题中$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 1$的结论错误，正确答案为A.错。