不等式 (x)^2+6x+1leqslant 0 的解集是 () 。。-|||-A. x|xneq -dfrac {1)(3)} B. x|-dfrac {1)(3)leqslant xleqslant dfrac (1)(3)} -|||-C. ② D. x|x=-dfrac {1)(3)}

考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，重点在于理解二次函数的图像特征及其与对应方程根的关系。

解题核心思路：

1. 判别式判断根的情况：通过计算判别式$\Delta$，确定二次方程$9x^2 +6x +1=0$的根的性质（相等实根）。
2. 开口方向与不等式符号：二次项系数为正，抛物线开口向上，此时不等式$9x^2 +6x +1 \leq 0$的解集仅包含使表达式等于0的点。

破题关键点：

• 判别式$\Delta =0$：说明方程有唯一实根，对应抛物线顶点在x轴上。
• 开口方向：开口向上时，抛物线仅在顶点处与x轴相切，其他点均在x轴上方，因此不等式成立的唯一解为顶点横坐标。

步骤1：计算判别式
对于方程$9x^2 +6x +1=0$，判别式为：
$\Delta = b^2 -4ac = 6^2 -4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 -36 = 0$
结论：方程有两个相等的实数根。

步骤2：求方程的根
根为：
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{3}$
结论：方程的解为$x = -\dfrac{1}{3}$。

步骤3：分析不等式解集
二次项系数$9>0$，抛物线开口向上，且顶点在$x = -\dfrac{1}{3}$处与x轴相切。因此：

• 当$x = -\dfrac{1}{3}$时，表达式等于0；
• 对于其他所有$x$值，表达式值均大于0。

结论：不等式$9x^2 +6x +1 \leq 0$的解集为$\{x \mid x = -\dfrac{1}{3}\}$。