在四阶行列式 D 中，第二行元素依次为 1,0,1,2，它们的余子式依次为 3,-1,2,1，则行列式 D= ( )A. -3B. -1C. 0D. 1

本题考查行列式按行展开的性质，核心在于理解余子式与代数余子式的关系。关键点在于：

1. 行列式按某一行展开时，元素与其对应的代数余子式相乘后求和；
2. 代数余子式是余子式乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$为元素所在的行数，$j$为列数；
3. 题目中给出的是余子式，需先转换为代数余子式，再代入计算。

行列式展开原理

四阶行列式$D$按第二行展开，公式为：
$D = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} + a_{24}A_{24}$
其中，$a_{2j}$是第二行元素，$A_{2j}$是对应的代数余子式，满足：
$A_{2j} = (-1)^{2+j} \cdot M_{2j}$
（$M_{2j}$为余子式）

代数余子式计算

题目给出第二行元素$a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1, a_{24}=2$，余子式$M_{2j}=3,-1,2,1$。代入公式：

1. $A_{21}$：
   $A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot 3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$
2. $A_{22}$：
   $A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot (-1) = (-1)^4 \cdot (-1) = -1$
3. $A_{23}$：
   $A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot 2 = (-1)^5 \cdot 2 = -2$
4. $A_{24}$：
   $A_{24} = (-1)^{2+4} \cdot 1 = (-1)^6 \cdot 1 = 1$

行列式求值

将元素与代数余子式相乘后求和：
$\begin{aligned}D &= 1 \cdot (-3) + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 \\&= -3 + 0 -2 + 2 \\&= -3\end{aligned}$