记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1-S2+S3=((sqrt(3)))/(2)，sinB=(1)/(3)．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=((sqrt(2)))/(3)，求b.

考查要点：本题综合考查正三角形面积公式、余弦定理、正弦定理及三角形面积公式的应用，同时涉及代数方程的求解。

解题思路：

1. 第一问：通过正三角形面积公式建立方程，结合余弦定理求出边长关系，最终利用三角形面积公式求解。
2. 第二问：利用正弦定理将边长转化为角的正弦表达式，结合已知条件联立方程求解。

破题关键：

• 正三角形面积公式：$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
• 余弦定理：$a^2 + c^2 - b^2 = 2ac\cos B$。
• 三角形面积公式：$S = \frac{1}{2}ac\sin B$。
• 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

第（1）题

正三角形面积公式

分别以$a, b, c$为边长的正三角形面积为：
$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, \quad S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2, \quad S_3 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2.$

代入已知条件

根据题意$S_1 - S_2 + S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 - b^2 + c^2) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a^2 - b^2 + c^2 = 2.$

余弦定理与角度分析

由余弦定理：
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
结合$a^2 + c^2 - b^2 = 2$，得：
$\cos B = \frac{2}{2ac} = \frac{1}{ac}.$
已知$\sin B = \frac{1}{3}$，则$\cos B = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，代入得：
$\frac{1}{ac} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \implies ac = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}.$

三角形面积计算

三角形面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}}{8}.$

第（2）题

正弦定理表达式

由正弦定理：
$a = \frac{b\sin A}{\sin B}, \quad c = \frac{b\sin C}{\sin B}.$

联立方程

代入$ac = \frac{3\sqrt{2}}{4}$得：
$\frac{b\sin A}{\sin B} \cdot \frac{b\sin C}{\sin B} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \implies \frac{b^2 \sin A \sin C}{\sin^2 B} = \frac{3\sqrt{2}}{4}.$
已知$\sin A \sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$，$\sin B = \frac{1}{3}$，代入得：
$\frac{b^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \implies \frac{b^2 \cdot \sqrt{2}}{3} \cdot 9 = \frac{3\sqrt{2}}{4} \implies b^2 = \frac{1}{4} \implies b = \frac{1}{2}.$