题目
求不定积分int dfrac (arctan sqrt {x)}(sqrt {x)(1+x)}dx
求不定积分
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$，即 $dx = 2\sqrt{x}du = 2udu$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u(1+u^2)} \cdot 2udu$。
步骤 3：化简
化简得到 $2\int \dfrac{\arctan u}{1+u^2}du$。
步骤 4：积分
注意到 $\dfrac{d}{du}(\arctan u) = \dfrac{1}{1+u^2}$，所以原积分可以写成 $2\int \arctan u \cdot d(\arctan u)$。
步骤 5：求解
利用积分公式 $\int f(x)df(x) = \dfrac{1}{2}f^2(x) + C$，得到 $2\int \arctan u \cdot d(\arctan u) = 2\cdot \dfrac{1}{2}(\arctan u)^2 + C = (\arctan u)^2 + C$。
步骤 6：回代
将 $u = \sqrt{x}$ 回代，得到 $(\arctan \sqrt{x})^2 + C$。
令 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$，即 $dx = 2\sqrt{x}du = 2udu$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u(1+u^2)} \cdot 2udu$。
步骤 3：化简
化简得到 $2\int \dfrac{\arctan u}{1+u^2}du$。
步骤 4：积分
注意到 $\dfrac{d}{du}(\arctan u) = \dfrac{1}{1+u^2}$，所以原积分可以写成 $2\int \arctan u \cdot d(\arctan u)$。
步骤 5：求解
利用积分公式 $\int f(x)df(x) = \dfrac{1}{2}f^2(x) + C$，得到 $2\int \arctan u \cdot d(\arctan u) = 2\cdot \dfrac{1}{2}(\arctan u)^2 + C = (\arctan u)^2 + C$。
步骤 6：回代
将 $u = \sqrt{x}$ 回代，得到 $(\arctan \sqrt{x})^2 + C$。