题目

(2)int_(-infty)^+infty(dx)/(x^2)+2x+2;

(2)$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2}$;

题目解答

答案

将被积函数重写为： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)^2 + 1} \] 令 $u = x + 1$，则 $du = dx$，积分变为： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \left[ \arctan u \right]_{-\infty}^{+\infty} \] 计算得： \[ \lim_{u \to +\infty} \arctan u - \lim_{u \to -\infty} \arctan u = \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi \] **答案：** $\boxed{\pi}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及无限区间上的有理函数积分。关键在于通过配方法将分母转化为标准形式，并利用反正切函数的积分公式求解。

解题核心思路：

  1. 配方法：将分母$x^2 + 2x + 2$转化为完全平方形式$(x+1)^2 + 1$，简化积分表达式。
  2. 变量替换：令$u = x + 1$，将积分转化为标准形式$\int \frac{du}{u^2 + 1}$。
  3. 利用基本积分公式：直接应用$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u + C$，并计算定积分的上下限。

破题关键点：

  • 识别分母的二次式结构，通过配方法将其转化为标准形式。
  • 正确处理无限积分限，利用反正切函数在无穷远处的极限值。

步骤1：配方法简化分母
将分母$x^2 + 2x + 2$配方：
$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1.$
因此，原积分变为：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}.$

步骤2：变量替换
令$u = x + 1$，则$du = dx$。当$x$从$-\infty$到$+\infty$时，$u$同样从$-\infty$到$+\infty$。积分变为：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{u^2 + 1}.$

步骤3：应用积分公式
根据基本积分公式$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan u + C$，定积分结果为：
$\left[ \arctan u \right]_{-\infty}^{+\infty}.$

步骤4：计算上下限

  • 当$u \to +\infty$时，$\arctan u \to \frac{\pi}{2}$；
  • 当$u \to -\infty$时，$\arctan u \to -\frac{\pi}{2}$。
    因此，积分值为：
    $\frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi.$