题目
设三阶行列式D的第三行的元素分别为-2,1,2，它们的余子式依次为2,-1,4，则D=____.<|im_end|>设三阶行列式D的第三行的元素分别为-2,1,2，它们的余子式依次为2,-1,4，则D=____.
设三阶行列式D的第三行的元素分别为-2,1,2
，它们的余子式依次为2,-1,4，
则D=____.
<|im_end|>
设三阶行列式D的第三行的元素分别为-2,1,2，它们的余子式依次为2,-1,4，则D=____.
题目解答
答案
设三阶行列式 $ D $ 的第三行元素为 $-2, 1, 2$，余子式分别为 $2, -1, 4$。
代数余子式为：
$A_{31} = (-1)^{3+1} \times 2 = 2, \quad A_{32} = (-1)^{3+2} \times (-1) = 1, \quad A_{33} = (-1)^{3+3} \times 4 = 4$
按第三行展开行列式：
$D = a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} = (-2) \times 2 + 1 \times 1 + 2 \times 4 = -4 + 1 + 8 = 5$
答案： $\boxed{5}$
解析
本题考查行列式行列式按行展开的知识。解题思路是先根据余子式求出代数余子式，再利用行列式按行展开公式计算出行列式的值。
- 求代数余子式：
根据代数余子式公式$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$（其中$M_{ij}$是余子式。
对于第三行第一列元素的代数余子式$A_{31}=(-1)^{3 + 1} \times 2 = 2}$；
对于第三行第二列元素的代数余子式$A_{32}=(-1)^{3 + 2} \times (-1) = 1$；
对于第三行第三列元素的代数余子式$A_{33}=(-1)^{3 + 3} \times 4 = 4$。
2.按第三行展开行列式：
根据行列式按行展开公式$D = \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}$（$n$是行列式阶数）。
已知第三行元素$a_{31}=-2$，$a_{32}=1$，$a_{33}=2$。
则$D = a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}=(-2) \times 2 + 1 \times 1 + 2 \times 4)$。
先计算乘法：$-2 \times 2=-4$，$1\times1 = 1$，$2\times4 = 8$。
再计算加法：$-4 + 1 + 8 = 5$。