3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：(1) sum_(n=1)^infty (i^n)/(n); (2) sum_(n=2)^infty (i^n)/(ln n);(3) sum_(n=0)^infty ((6+5i)^n)/(8^n); (4) sum_(n=0)^infty (cos in)/(2^n).

考查要点：
本题主要考查复数项级数的收敛性判别，需区分绝对收敛与条件收敛。解题核心思路为：

1. 分解复数级数为实部与虚部，分别判断是否收敛；
2. 判断绝对值级数（即各项模长构成的级数）是否收敛，决定绝对收敛性；
3. 若绝对值级数发散，但原级数收敛，则为条件收敛。

关键点：

• 复数单位i的周期性（$i^n$的循环性）；
• 交错级数判别法（莱布尼茨判别法）；
• 几何级数的收敛性（公比绝对值是否小于1）；
• 双曲余弦函数的增长性（$\cosh n$的增长速度）。

第（1）题

级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}$

分解实部与虚部

$i^n$的周期为4，分解后：

• 实部：$n \equiv 1,3 \pmod{4}$时为0，$n \equiv 0 \pmod{4}$时为$\frac{1}{n}$，$n \equiv 2 \pmod{4}$时为$-\frac{1}{n}$，即实部为$\sum \frac{(-1)^{k}}{2k}$（交错级数）；
• 虚部：$n \equiv 0,2 \pmod{4}$时为0，$n \equiv 1 \pmod{4}$时为$\frac{1}{n}$，$n \equiv 3 \pmod{4}$时为$-\frac{1}{n}$，即虚部为$\sum \frac{(-1)^{k}}{2k+1}$（交错级数）。

判别收敛性

实部与虚部分别满足莱布尼茨判别法，故原级数收敛。
绝对值级数为$\sum \frac{1}{n}$（调和级数），发散。
结论：条件收敛。

第（2）题

级数：$\sum_{n=2}^\infty \frac{i^n}{\ln n}$

分解实部与虚部

同理分解为实部与虚部，均为交错级数，且$\frac{1}{\ln n}$单调递减趋于0，故原级数收敛。
绝对值级数为$\sum \frac{1}{\ln n}$，与$\sum \frac{1}{n}$比较（$\lim \frac{\ln n}{n} = 0$），发散。
结论：条件收敛。

第（3）题

级数：$\sum_{n=0}^\infty \frac{(6+5i)^n}{8^n}$

计算模长

复数$6+5i$的模为$\sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$，故通项模长为$\left( \frac{\sqrt{61}}{8} \right)^n$。
绝对值级数为几何级数，公比$r = \frac{\sqrt{61}}{8} \approx 0.927 < 1$，故绝对收敛。

第（4）题

级数：$\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos in}{2^n}$

化简通项

利用$\cos in = \cosh n$（双曲余弦函数），通项为$\frac{\cosh n}{2^n}$。
发散性分析：$\cosh n \sim \frac{e^n}{2}$，故通项$\sim \frac{e^n}{2^{n+1}} = \left( \frac{e}{2} \right)^n \cdot \frac{1}{2}$，公比$r = \frac{e}{2} > 1$，级数发散。