题目
若二次型((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)经正交变换化为((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)，则（ ）.A.((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)B.((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)C.((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)D.((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+4({x)_(2)}^2+a({x)_(3)}^2+2b(x)_(1)(x)_(3)
若二次型
经正交变换化为
，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由标准形知，二次型矩阵的特征值为
.
二次型的矩阵为
,由
令
，得
.
又已知，
由韦达定理知，
得.
故此题选B.
解析
步骤 1：确定二次型矩阵的特征值
由标准形$f=4{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+6{{y}_{3}}^{2}$知，二次型矩阵的特征值为4,1,6.
步骤 2：写出二次型矩阵
二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+4{{x}_{2}}^{2}+a{{x}_{3}}^{2}+2b{x}_{1}{x}_{3}$的矩阵为
$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & b \\ 0 & 4 & 0 \\ b & 0 & a \end{pmatrix}$.
步骤 3：计算特征多项式
由$|\lambda E-A|=$ $\left |\begin{matrix} \lambda -2& 0& -b\\ 0& \lambda -4& 0\\ -b& 0& \lambda -a\end{matrix} | \right.$
$=(\lambda -4)$ $\left |\begin{matrix} \lambda -2& -b\\ -b& \lambda -a\end{matrix} | \right.$
$=(\lambda -4)[ (\lambda -2)(\lambda -a)-{b}^{2}] $
$=(\lambda -4)({\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2})$
令$(\lambda -4)({\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2})=0$，得${\lambda }_{1}=4,$, $4,{\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2}=0$.
步骤 4：利用韦达定理求解a和b
已知，${\lambda }_{2}=1$ ${\lambda }_{3}=6$
由韦达定理知，$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2a-{b}^{2}}{1}=1\times 6=6\\ -\dfrac {-2-a}{1}=1+6=7\end{matrix} \right.$
得a=5, $b=\pm 2$.
由标准形$f=4{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+6{{y}_{3}}^{2}$知，二次型矩阵的特征值为4,1,6.
步骤 2：写出二次型矩阵
二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+4{{x}_{2}}^{2}+a{{x}_{3}}^{2}+2b{x}_{1}{x}_{3}$的矩阵为
$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & b \\ 0 & 4 & 0 \\ b & 0 & a \end{pmatrix}$.
步骤 3：计算特征多项式
由$|\lambda E-A|=$ $\left |\begin{matrix} \lambda -2& 0& -b\\ 0& \lambda -4& 0\\ -b& 0& \lambda -a\end{matrix} | \right.$
$=(\lambda -4)$ $\left |\begin{matrix} \lambda -2& -b\\ -b& \lambda -a\end{matrix} | \right.$
$=(\lambda -4)[ (\lambda -2)(\lambda -a)-{b}^{2}] $
$=(\lambda -4)({\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2})$
令$(\lambda -4)({\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2})=0$，得${\lambda }_{1}=4,$, $4,{\lambda }^{2}-2\lambda -a\lambda +2a-{b}^{2}=0$.
步骤 4：利用韦达定理求解a和b
已知，${\lambda }_{2}=1$ ${\lambda }_{3}=6$
由韦达定理知，$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2a-{b}^{2}}{1}=1\times 6=6\\ -\dfrac {-2-a}{1}=1+6=7\end{matrix} \right.$
得a=5, $b=\pm 2$.