题目
已知y_(1)=e^3x-xe^2x，y_(2)=e^x-xe^2x，y_(3)=-xe^2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足y(0)=0，y'(0)=1方程的解为＿＿＿＿＿＿.
已知$y_{1}=e^{3x}-xe^{2x}$，$y_{2}=e^{x}-xe^{2x}$，$y_{3}=-xe^{2x}$是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足$y\left(0\right)=0$，$y'\left(0\right)=1$方程的解为＿＿＿＿＿＿.
题目解答
答案
由线性微分方程解的性质可得，$y_{1}-y_{3} $与$ y_{2}-y_{3} $为对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个解.
因为$ y_{1}-y_{3}=e^{3x} $与$ y_{2}-y_{3}=e^{x} $为线性无关的，
故由解的结构定理，该方程的通解为
$y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{x }-xe^{2x}$.
把初始条件代入可得$ C_{1}=1$，$C_{2}=-1$，
所以$ y=e^{3x}-e^{x }-xe^{2x}$.
故答案为$ y=e^{3x}-e^{x }-xe^{2x}$.
解析
步骤 1：确定齐次方程的解
由线性微分方程解的性质，$y_{1}-y_{3}$与$y_{2}-y_{3}$为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个解。计算$y_{1}-y_{3}$和$y_{2}-y_{3}$，得到$y_{1}-y_{3}=e^{3x}$和$y_{2}-y_{3}=e^{x}$。因为$e^{3x}$和$e^{x}$是线性无关的，所以它们是齐次方程的两个线性无关解。
步骤 2：写出通解
根据解的结构定理，该方程的通解为$y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{x}-xe^{2x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是任意常数。
步骤 3：应用初始条件
将初始条件$y(0)=0$和$y'(0)=1$代入通解中，得到方程组：
$C_{1}+C_{2}=0$，
$3C_{1}+C_{2}-2=1$。
解这个方程组，得到$C_{1}=1$和$C_{2}=-1$。
步骤 4：写出特解
将$C_{1}=1$和$C_{2}=-1$代入通解中，得到满足初始条件的特解$y=e^{3x}-e^{x}-xe^{2x}$。
由线性微分方程解的性质，$y_{1}-y_{3}$与$y_{2}-y_{3}$为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个解。计算$y_{1}-y_{3}$和$y_{2}-y_{3}$，得到$y_{1}-y_{3}=e^{3x}$和$y_{2}-y_{3}=e^{x}$。因为$e^{3x}$和$e^{x}$是线性无关的，所以它们是齐次方程的两个线性无关解。
步骤 2：写出通解
根据解的结构定理，该方程的通解为$y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{x}-xe^{2x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是任意常数。
步骤 3：应用初始条件
将初始条件$y(0)=0$和$y'(0)=1$代入通解中，得到方程组：
$C_{1}+C_{2}=0$，
$3C_{1}+C_{2}-2=1$。
解这个方程组，得到$C_{1}=1$和$C_{2}=-1$。
步骤 4：写出特解
将$C_{1}=1$和$C_{2}=-1$代入通解中，得到满足初始条件的特解$y=e^{3x}-e^{x}-xe^{2x}$。