题目

1.判断题.-|||-(1)若(x0,f(x0))为曲线 y=f(x) 的拐点,则点x0一定不是函数f(x)的极值点:

题目解答

本题考查函数拐点和极值点的概念及判断。解题思路是先明确拐点和极值点的定义，然后通过分析给定函数在特定点处的性质，判断该点是否同时为拐点和极值点，以此来验证命题的正确性。

1. 明确相关定义

拐点：设函数$y = f(x)$在区间$I$上连续，$x_0$是$I$的内点。如果曲线$y = f(x)$在经过点$(x_0,f(x_0))$时，曲线的凹凸性发生改变，那么就称点$(x_0,f(x_0))$为这曲线的拐点。
极值点：设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任一$x$，有$f(x)\lt f(x_0)$（或$f(x)\gt f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值），点$x_0$称为函数$f(x)$的极大值点（或极小值点）。

2. 分析给定函数

已知函数$f(x)=\begin{cases} \sin x, & 0\leqslant x\leqslant \dfrac {\pi }{2}\\ 1+\cos x, & \dfrac {\pi }{2}\lt x\leqslant \pi \end{cases}$。

判断$(\frac{\pi}{2},1)$是否为拐点：
- 当$0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2}$时，$f(x)=\sin x$，对其求二阶导数，$f^\prime(x)=\cos x$，$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x$。在$(0,\frac{\pi}{2})$上，$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x\lt0$，曲线是凸的。
- 当$\frac{\pi}{2}\lt x\leqslant \pi$时，$f(x)=1 + \cos x$，对其求二阶导数，$f^\prime(x)=-\sin x$，$f^{\prime\prime}(x)=-\cos x$。在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上，$f^{\prime\prime}(x)=-\cos x\gt0$，曲线是凹的。
- 因为曲线在$x = \frac{\pi}{2}$两侧凹凸性发生了改变，所以点$(\frac{\pi}{2},1)$是$f(x)$的拐点。
判断$x = \frac{\pi}{2}$是否为极值点：
- 当$0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2}$时，$f(x)=\sin x$单调递增，$f(\frac{\pi}{2}) = 1$。
- 当$\frac{\pi}{2}\lt x\leqslant \pi$时，$f(x)=1 + \cos x$单调递减，$f(\frac{\pi}{2}) = 1$。
- 对于$x\in(0,\pi)$且$x\neq\frac{\pi}{2}$，都有$f(x)\lt f(\frac{\pi}{2})$，根据极值点的定义可知$x = \frac{\pi}{2}$是$f(x)$的极大值点。

3. 得出结论

由上述分析可知，存在函数使得某点既是拐点又是极值点，所以“若$(x_0,f(x_0))$为曲线$y = f(x)$的拐点，则点$x_0$一定不是函数$f(x)$的极值点”这一命题不正确。