题目
(5)已知积分区域 = (x,y)||x|+|y|leqslant dfrac {pi )(2)} _(1)=iint sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy _(2)=iint sin sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy,-|||-_(3)=iint (1-cos sqrt ({x)^2+(y)^2})dxdy, 试比较I1,I2,I3的大小 ()-|||-(A) _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1) (B) _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3) (C) _(2)lt (I)_(1)lt (I)_(3) (D) _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D由不等式 |x| + |y| ≤ 1 定义，这是一个正方形区域，其顶点在 (±1, 0) 和 (0, ±1)。该区域在笛卡尔坐标系中是一个边长为√2的正方形，中心在原点。
步骤 2：转换到极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。在极坐标系中，x = r cos θ，y = r sin θ，其中r是原点到点的距离，θ是与x轴的夹角。积分区域D在极坐标系中变为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。
步骤 3：计算I1
${I}_{1}=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{1}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 dr = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$。
步骤 4：计算I2
${I}_{2}=\iint \sin \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \sin r \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \sin r dr$。由于$\int_{0}^{1} r \sin r dr$是一个正数，因此${I}_{2}$也是一个正数，但小于${I}_{1}$，因为$\sin r < r$。
步骤 5：计算I3
${I}_{3}=\iint (1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}})dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{3}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1-\cos r) \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r (1-\cos r) dr$。由于$\int_{0}^{1} r (1-\cos r) dr$是一个正数，因此${I}_{3}$也是一个正数，但小于${I}_{2}$，因为$1-\cos r < \sin r$。
积分区域D由不等式 |x| + |y| ≤ 1 定义，这是一个正方形区域，其顶点在 (±1, 0) 和 (0, ±1)。该区域在笛卡尔坐标系中是一个边长为√2的正方形，中心在原点。
步骤 2：转换到极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。在极坐标系中，x = r cos θ，y = r sin θ，其中r是原点到点的距离，θ是与x轴的夹角。积分区域D在极坐标系中变为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。
步骤 3：计算I1
${I}_{1}=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{1}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 dr = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$。
步骤 4：计算I2
${I}_{2}=\iint \sin \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \sin r \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \sin r dr$。由于$\int_{0}^{1} r \sin r dr$是一个正数，因此${I}_{2}$也是一个正数，但小于${I}_{1}$，因为$\sin r < r$。
步骤 5：计算I3
${I}_{3}=\iint (1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}})dxdy$ 在极坐标系中变为 ${I}_{3}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1-\cos r) \cdot r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r (1-\cos r) dr$。由于$\int_{0}^{1} r (1-\cos r) dr$是一个正数，因此${I}_{3}$也是一个正数，但小于${I}_{2}$，因为$1-\cos r < \sin r$。