题目
(5)已知积分区域 = (x,y)||x|+|y|leqslant dfrac {pi )(2)} _(1)=iint sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy _(2)=iint sin sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy,-|||-_(3)=iint (1-cos sqrt ({x)^2+(y)^2})dxdy, 试比较I1,I2,I3的大小 ()-|||-(A) _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1) (B) _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3) (C) _(2)lt (I)_(1)lt (I)_(3) (D) _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的比较，涉及被积函数在积分区域内的大小关系及积分性质的应用。
解题核心思路：
- 确定积分区域：区域$D$为$|x| + |y| \leq 1$，是中心在原点的菱形，对称性较强。
- 分析被积函数：三个积分的被积函数分别为$r$、$\sin r$、$1 - \cos r$（其中$r = \sqrt{x^2 + y^2}$）。
- 比较被积函数大小：利用不等式$\sin r \leq r$和$1 - \cos r \leq \sin r$（在$r \in [0,1]$时成立），结合积分区域内的$r$范围（最大值为1），推导积分结果的大小关系。
破题关键点：
- 不等式应用：$\sin r \leq r$和$1 - \cos r \leq \sin r$在$r \in [0,1]$时成立。
- 积分性质：若$f(x,y) \geq g(x,y)$在积分区域$D$上成立，则$\iint_D f(x,y) dxdy \geq \iint_D g(x,y) dxdy$。
步骤1：确定积分区域内的$r$范围
区域$D$中，当$x$或$y$取到极值时（如$(1,0)$或$(0,1)$），$r = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$。因此，积分区域内的$r$范围为$0 \leq r \leq 1$。
步骤2：比较被积函数大小
-
$\sin r$与$r$的比较：
对任意$r \geq 0$，有$\sin r \leq r$，且当$r > 0$时，$\sin r < r$。因此，$\iint_D \sin r \, dxdy < \iint_D r \, dxdy$，即$I_2 < I_1$。 -
$1 - \cos r$与$\sin r$的比较：
在$r \in [0,1]$时，$\sin r \geq 1 - \cos r$。具体分析：- 当$r = 0$时，$\sin 0 = 0$，$1 - \cos 0 = 0$，两者相等。
- 当$r > 0$时，$\sin r > 1 - \cos r$（可通过泰勒展开或数值验证）。因此，$\iint_D (1 - \cos r) \, dxdy < \iint_D \sin r \, dxdy$，即$I_3 < I_2$。
步骤3：综合结果
结合上述比较，得$I_3 < I_2 < I_1$，对应选项A。