题目
已知函数f（x）={sqrt({x)^2+4)，}&(x＜0，)a，)&(x=0，)2x+b，)&(x＞0).在x=0处连续，求a与b的值．
已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+4}，}&{x＜0，}\\{a，}&{x=0，}\\{2x+b，}&{x＞0}\end{array}\right.$在x=0处连续，求a与b的值．
题目解答
答案
解：因为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+4}，}&{x＜0，}\\{a，}&{x=0，}\\{2x+b，}&{x＞0}\end{array}\right.$在x=0处连续，
当x＜0时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，所以当x→0+时，f（x）→2；当x=0时，f（x）=a；当x＞0时，f（x）=2x+b，x→0+，f（x）→2．
所以a=2，b=2．
当x＜0时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，所以当x→0+时，f（x）→2；当x=0时，f（x）=a；当x＞0时，f（x）=2x+b，x→0+，f（x）→2．
所以a=2，b=2．
解析
考查要点：本题主要考查函数在某一点连续的条件，即左右极限存在且相等，并等于该点的函数值。
解题核心思路：
- 左极限：当$x \to 0^-$时，函数表达式为$\sqrt{x^2 + 4}$，代入$x=0$可得左极限值。
- 右极限：当$x \to 0^+$时，函数表达式为$2x + b$，代入$x=0$可得右极限值。
- 连续条件：左极限、右极限、函数值$f(0)=a$三者相等，由此建立方程求解$a$和$b$。
破题关键：
- 明确分段函数在$x=0$处的左右极限表达式。
- 利用连续性条件联立方程，直接求解参数。
步骤1：计算左极限
当$x \to 0^-$时，函数表达式为$\sqrt{x^2 + 4}$，代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{4} = 2.$
步骤2：计算右极限
当$x \to 0^+$时，函数表达式为$2x + b$，代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \cdot 0 + b = b.$
步骤3：应用连续性条件
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0).$
因此：
- 左极限等于右极限：
$2 = b.$ - 极限值等于函数值：
$a = 2.$