=ln (x+sqrt ({a)^2+(x)^2});

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是自然对数函数与根式函数复合时的导数计算。

解题核心思路：

1. 链式法则：外层函数为自然对数函数，内层函数为$x + \sqrt{a^2 + x^2}$，需分步求导。
2. 根式函数的导数：对$\sqrt{a^2 + x^2}$求导时，需应用链式法则并化简。
3. 代数化简：通过通分、约分等操作，将结果转化为最简形式。

破题关键点：

• 正确分解复合结构，明确外层和内层函数。
• 准确计算内层函数的导数，尤其是根式部分。
• 化简过程中注意分子与分母的公共因子，实现约分。

设函数$y = \ln(x + \sqrt{a^2 + x^2})$，求导数$y'$：

步骤1：应用链式法则

外层函数为$\ln(u)$，其中$u = x + \sqrt{a^2 + x^2}$，则外层导数为$\frac{1}{u}$。

步骤2：求内层函数$u$的导数

对$u = x + \sqrt{a^2 + x^2}$求导：

• 第一项$x$的导数为$1$。
• 第二项$\sqrt{a^2 + x^2}$的导数为$\frac{1}{2\sqrt{a^2 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$。
  因此，$u' = 1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$。

步骤3：组合导数

根据链式法则，$y' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\right)$。

步骤4：化简表达式

将分子通分：
$1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{\sqrt{a^2 + x^2}}.$
代入后，整体表达式为：
$y' = \frac{1}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}.$