【题目】在曲线=t, y=t^2 , z=t^3 上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4.

考查要点：本题主要考查曲线切线方向与平面法向量的关系，以及如何利用点积为零的条件求解参数。

解题核心思路：

1. 确定曲线切线方向向量：对参数方程求导得到切线方向向量。
2. 平面法向量：由平面方程系数直接得出。
3. 垂直条件：切线方向向量与平面法向量点积为零，建立方程求解参数$t_0$。
4. 代入求点：将求得的$t_0$代入曲线方程，得到所求点坐标。

破题关键：

• 切线方向向量与法向量垂直是核心条件，需正确计算点积并解方程。

步骤1：求曲线切线方向向量

曲线参数方程为：
$x = t, \quad y = t^2, \quad z = t^3$
对$t$求导得切线方向向量：
$\left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = (1, 2t, 3t^2)$

步骤2：确定平面法向量

平面方程为$x + 2y + z = 4$，其法向量为：
$\mathbf{n} = (1, 2, 1)$

步骤3：建立垂直条件方程

切线方向向量与法向量垂直，即点积为零：
$(1, 2t, 3t^2) \cdot (1, 2, 1) = 0$
展开计算：
$1 \cdot 1 + 2t \cdot 2 + 3t^2 \cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + 4t + 3t^2 = 0$

步骤4：解二次方程

方程$3t^2 + 4t + 1 = 0$的解为：
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}$
得$t_0 = -1$或$t_0 = -\frac{1}{3}$。

步骤5：代入求点坐标

• 当$t_0 = -1$时：
  $x = -1, \quad y = (-1)^2 = 1, \quad z = (-1)^3 = -1$
  对应点为$(-1, 1, -1)$。

• 当$t_0 = -\frac{1}{3}$时：
  $x = -\frac{1}{3}, \quad y = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}, \quad z = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$
  对应点为$\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}\right)$。