题目
已 知 函数 (x+dfrac (1)(x))=(x)^2+dfrac (1)({x)^2}, 则 f(x)=-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察函数形式
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，我们注意到等号右边的表达式可以被重写为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，这是因为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$，从而 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 2：替换变量
根据步骤 1 的观察，我们可以将 $f(x+\dfrac {1}{x})$ 替换为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，从而得到 $f(x+\dfrac {1}{x}) = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 3：定义新变量
为了得到 $f(x)$ 的形式，我们设 $y = x + \dfrac{1}{x}$，则 $f(y) = y^2 - 2$。因此，$f(x) = x^2 - 2$。
步骤 4：确定定义域
由于 $y = x + \dfrac{1}{x}$，我们需要考虑 $x$ 的取值范围。当 $x > 0$ 时，$y \geq 2$（根据均值不等式）；当 $x < 0$ 时，$y \leq -2$。因此，$f(x)$ 的定义域为 $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，我们注意到等号右边的表达式可以被重写为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，这是因为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$，从而 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 2：替换变量
根据步骤 1 的观察，我们可以将 $f(x+\dfrac {1}{x})$ 替换为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，从而得到 $f(x+\dfrac {1}{x}) = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 3：定义新变量
为了得到 $f(x)$ 的形式，我们设 $y = x + \dfrac{1}{x}$，则 $f(y) = y^2 - 2$。因此，$f(x) = x^2 - 2$。
步骤 4：确定定义域
由于 $y = x + \dfrac{1}{x}$，我们需要考虑 $x$ 的取值范围。当 $x > 0$ 时，$y \geq 2$（根据均值不等式）；当 $x < 0$ 时，$y \leq -2$。因此，$f(x)$ 的定义域为 $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。