[题目]应用格林公式计算曲线积分J-|||-((e)^xsin y-my)dx+((e)^xcos y-m)dy, 其中m为常数,AB为-|||-由(a,0)到(0,0)经过圆 ^2+(y)^2=ax 上半部的路线.

步骤 1：添加有向直线段
添加从点A(a,0)到O (0,0)的有向直线段L1，使得曲线积分可以被分解为两部分：一部分是沿圆弧AB的积分，另一部分是沿直线段L1的积分。即
$$
I = I_{AB} + I_{L1} = \int_{AB} (e^x \sin y - my)dx + (e^x \cos y - m)dy - \int_{L1} (e^x \sin y - my)dx + (e^x \cos y - m)dy
$$
步骤 2：应用格林公式
利用格林公式计算沿圆弧AB的积分。格林公式为：
$$
\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \oint_{\partial D} Pdx + Qdy
$$
其中，$P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$，$\partial D$是圆弧AB和直线段L1围成的闭合区域。计算得到：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m
$$
因此，
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m
$$
步骤 3：计算沿圆弧AB的积分
将上述结果代入格林公式，得到沿圆弧AB的积分：
$$
I_{AB} = \iint_D m dxdy = m \iint_D dxdy
$$
其中，$D$是圆弧AB和直线段L1围成的闭合区域。由于圆的半径为$a/2$，因此圆的面积为$\pi (a/2)^2 = \pi a^2 / 4$。因此，
$$
I_{AB} = m \cdot \frac{\pi a^2}{4}
$$
步骤 4：计算沿直线段L1的积分
沿直线段L1的积分可以通过参数方程计算。直线段L1的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = x \\
y = 0
\end{cases}, \quad (x: a \rightarrow 0)
$$
因此，
$$
I_{L1} = \int_{L1} (e^x \sin y - my)dx + (e^x \cos y - m)dy = \int_{a}^{0} (e^x \sin 0 - m \cdot 0)dx + (e^x \cos 0 - m) \cdot 0 = 0
$$
步骤 5：计算最终结果
将步骤3和步骤4的结果代入步骤1的公式，得到最终结果：
$$
I = I_{AB} - I_{L1} = \frac{\pi m a^2}{4} - 0 = \frac{\pi m a^2}{4}
$$