16.设 f(x)= ) (x)^2,xin [ 0,1) x,xin [ 1,2] f(t)dt 在[0,2]上的表达式,并讨论ϕ(x)在(0,-|||-2)内的连续性.

考查要点：本题主要考查分段函数的变上限积分表达式及连续性讨论。
解题思路：

1. 分段积分：根据被积函数$f(x)$的分段点$x=1$，将积分区间分为$[0,1)$和$[1,2]$两部分处理。
2. 连续性判断：通过计算$x=1$处的左右极限，验证积分函数$\Phi(x)$在分段点处的连续性，其他点由积分函数的性质直接连续。
   关键点：

• 积分分段计算：当$x \geq 1$时，积分需拆分为$[0,1)$和$[1,x]$两部分。
• 极限验证：通过左右极限相等且等于函数值，确保分段点$x=1$处连续。

当$x \in [0,1)$时

此时$f(t) = t^2$，直接积分：
$\Phi(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}.$

当$x \in [1,2]$时

积分需分两段计算：

1. 第一段：$t \in [0,1)$，$f(t) = t^2$，积分结果为$\frac{1}{3}$。
2. 第二段：$t \in [1,x]$，$f(t) = t$，积分结果为$\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$。
   总和为：
   $\Phi(x) = \frac{1}{3} + \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{6}.$

连续性讨论

1. 在$x=1$处：
   • 左极限：$\lim_{x \to 1^-} \Phi(x) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$。
   • 右极限：$\lim_{x \to 1^+} \Phi(x) = \frac{1^2}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。
   • 函数值：$\Phi(1) = \frac{1^2}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。
     因此，$x=1$处连续。
2. 其他点：$\Phi(x)$在$[0,1)$和$[1,2]$内均为多项式函数，显然连续。