题目

利用等价无穷小的性质，求下列极限：（1）lim _(xarrow 0)dfrac (tan 3x)(2x)（2）lim _(xarrow 0)dfrac (tan 3x)(2x)（n,m为正整数）（3）lim _(xarrow 0)dfrac (tan 3x)(2x)（4）lim _(xarrow 0)dfrac (tan 3x)(2x)

利用等价无穷小的性质，求下列极限：

（1） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan3x}{2x}$

（2） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x^n\right)}{\left(\sin x\right)^m}$ （n,m为正整数）

（3） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}$

（4） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)^n\left(\sqrt{1+\sin x}-1\right)}$

题目解答

答案

（1） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan3x}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

（2） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x^n\right)}{\left(\sin x\right)^m}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^n}{x^m}$ $=\left\{\begin{matrix}0,& n>m\\1,& n=m\\\infty ,&n<m\end{matrix}\right.$

（3） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x\left(1-\cos x\right)}{x^3}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x\times\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}$

$=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x}=\frac{1}{2}$

（4） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)^n\left(\sqrt{1+\sin x}-1\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x\left(\cos x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}x^2\right)^n\times\frac{1}{2}\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\times\left(-\frac{1}{2}x^2\right)}{\frac{1}{3^n}x^{2n}\times\frac{1}{2}x}$

$=3^n\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^3}{x^{2n+1}}=$ $\left\{\begin{matrix}0,& n<1\\3^{n} ,& n=1\\\infty ,&n>1\end{matrix}\right.$