1、如果lim_(xto x_0)f(x)=infty，lim_(xto x_0)g(x)=infty，则必有A. lim_(xto x_0)[f(x)+g(x)]=inftyB. lim_(xto x_0)[f(x)-g(x)]=0C. lim_(xto x_0)(1)/(f(x)+g(x))=0D. lim_(xto x_0)kf(x)=infty（k为非零常数）

本题考查函数极限的运算法则以及无穷大与无穷小的关系。解题的关键在于理解极限的性质以及无穷大与无穷小之间的相互转化，同时要注意极限运算法则成立的条件。

选项A

已知$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$。
当$x\to x_0$时，$f(x)$和$g(x)$的绝对值都无限增大。
不妨设$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty$，对于任意给定的正数$M$，因为$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，所以存在$\delta_1>0$，当$0<|x - x_0|<\delta_1$时，有$f(x)>\frac{M}{2}$；又因为$\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty$，所以存在$\delta_2>0$，当$0<|x - x_0|<\delta_2$时，有$g(x)>\frac{M}{2}$。
取$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$，当$0<|x - x_0|<\delta$时，$f(x)+g(x)>\frac{M}{2}+\frac{M}{2}=M$，根据极限的定义，$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=+\infty$。
同理，当$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty$时，$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=-\infty$。
当$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty$或者$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty$时，$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$可能是无穷大，也可能是其他情况，但总体来说$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=\infty$，所以选项A正确。

选项B

可通过举反例来判断。
设$f(x)=\frac{1}{(x - x_0)^2}$，$g(x)=\frac{1}{2(x - x_0)^2}$，当$x\to x_0$时，$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$。
而$f(x)-g(x)=\frac{1}{(x - x_0)^2}-\frac{1}{2(x - x_0)^2}=\frac{1}{2(x - x_0)^2}$，$\lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=\infty\neq0$，所以选项B错误。

选项C

由选项A可知$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=\infty$。
根据无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小。
所以$\lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)+g(x)}=0$，选项C正确。

选项D

当$k>0$时，因为$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，对于任意给定的正数$M$，存在$\delta>0$，当$0<|x - x_0|<\delta$时，$|f(x)|> \frac{M}{k}$，则$|kf(x)|>M$，所以$\lim_{x\to x_0}kf(x)=\infty$。
当$k<0$时，$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，对于任意给定的正数$M$，存在$\delta>0$，当$0<|x - x_0|<\delta$时，$|f(x)|> \frac{M}{|k|}$，则$|kf(x)|>M$，此时$\lim_{x\to x_0}kf(x)=-\infty$。
所以$\lim_{x\to x_0}kf(x)=\infty$（$k$为非零常数）这种说法不准确，选项D错误。