题目
(4)设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且 (x)lt f(x)lt m m为常数),则曲线 =g(x),-|||-y=f(x) =a 及 x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为 ()-|||-(A) (int )_(a)^bpi [ 2m-f(x)+g(x)] [ f(x)-g(x)] dx-|||-(B) (int )_(a)^bpi [ 2m-f(x)-g(x)] [ f(x)-g(x)] dx-|||-(C) (int )_(a)^bpi [ m-f(x)+g(x)] [ f(x)-g(x)] dx-|||-(D) (int )_(a)^bpi [ m-f(x)-g(x)] [ f(x)-g(x)] dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过计算旋转体的横截面积的积分来得到。对于绕直线 y=m 旋转的旋转体，横截面积是两个圆环的面积之差，即大圆环的面积减去小圆环的面积。大圆环的半径是 m-f(x)，小圆环的半径是 m-g(x)。
步骤 2：计算横截面积
横截面积 A(x) 可以表示为大圆环的面积减去小圆环的面积，即：
\[ A(x) = \pi (m-f(x))^2 - \pi (m-g(x))^2 \]
\[ A(x) = \pi [(m-f(x))^2 - (m-g(x))^2] \]
\[ A(x) = \pi [(m-f(x)+m-g(x))(m-f(x)-m+g(x))] \]
\[ A(x) = \pi [(2m-f(x)-g(x))(f(x)-g(x))] \]
步骤 3：计算旋转体的体积
旋转体的体积 V 可以通过积分横截面积 A(x) 来得到，即：
\[ V = \int_{a}^{b} A(x) dx \]
\[ V = \int_{a}^{b} \pi [(2m-f(x)-g(x))(f(x)-g(x))] dx \]
旋转体的体积可以通过计算旋转体的横截面积的积分来得到。对于绕直线 y=m 旋转的旋转体，横截面积是两个圆环的面积之差，即大圆环的面积减去小圆环的面积。大圆环的半径是 m-f(x)，小圆环的半径是 m-g(x)。
步骤 2：计算横截面积
横截面积 A(x) 可以表示为大圆环的面积减去小圆环的面积，即：
\[ A(x) = \pi (m-f(x))^2 - \pi (m-g(x))^2 \]
\[ A(x) = \pi [(m-f(x))^2 - (m-g(x))^2] \]
\[ A(x) = \pi [(m-f(x)+m-g(x))(m-f(x)-m+g(x))] \]
\[ A(x) = \pi [(2m-f(x)-g(x))(f(x)-g(x))] \]
步骤 3：计算旋转体的体积
旋转体的体积 V 可以通过积分横截面积 A(x) 来得到，即：
\[ V = \int_{a}^{b} A(x) dx \]
\[ V = \int_{a}^{b} \pi [(2m-f(x)-g(x))(f(x)-g(x))] dx \]