19.（本题满分12分）设t>0，平面有界区域D由曲线y=sqrt(x)e^-x，x=t，x=2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(t)，求V(t)的最大值.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算、分部积分法的应用，以及利用导数求函数最大值的方法。
解题核心思路：
- 旋转体体积公式：利用绕x轴旋转的体积公式 $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx$，将曲线表达式代入并计算定积分。
- 分部积分法：处理积分 $\int x e^{-2x} \, dx$，通过两次分部积分完成计算。
- 求导与极值：对体积函数 $V(t)$ 求导，找到临界点并判断最大值。
破题关键点：
- 正确建立体积积分表达式：注意积分区间为 $[t, 2t]$，被积函数为 $y^2 = x e^{-2x}$。
- 分部积分的准确执行：分部积分时需注意符号和积分步骤的完整性。
- 导数的化简与临界点求解：通过因式分解简化导数表达式，找到 $t = \ln 2$ 作为极值点。
1. 计算旋转体体积
根据旋转体体积公式：
$V(t) = \pi \int_{t}^{2t} y^2 \, dx = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} \, dx$
分部积分法：
- 第一次分部积分：设 $u = x$，$dv = e^{-2x} dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$：
$\int x e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx$ - 第二次积分：$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C$，代入得：
$\int x e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C$
代入上下限：
$V(t) = \pi \left[ \left( -\frac{2t}{2} e^{-4t} - \frac{1}{4} e^{-4t} \right) - \left( -\frac{t}{2} e^{-2t} - \frac{1}{4} e^{-2t} \right) \right]$
化简后：
$V(t) = \pi \left[ -\left( t + \frac{1}{4} \right) e^{-4t} + \left( \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \right) e^{-2t} \right]$
2. 求导并解临界点
对 $V(t)$ 求导：
$V'(t) = \pi \left[ -e^{-4t} (1 + 4t) + \frac{1}{2} e^{-2t} - 2 \left( \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \right) e^{-2t} \right]$
化简后得：
$V'(t) = \pi t e^{-4t} (4 - e^{2t})$
令 $V'(t) = 0$，解得 $t = \ln 2$（因 $e^{2t} = 4 \Rightarrow t = \ln 2$）。
3. 判断最大值
- 当 $0 < t < \ln 2$ 时，$e^{2t} < 4$，故 $V'(t) > 0$；
- 当 $t > \ln 2$ 时，$e^{2t} > 4$，故 $V'(t) < 0$；
- 因此，$t = \ln 2$ 是极大值点。
4. 计算最大体积
将 $t = \ln 2$ 代入 $V(t)$：
$V(\ln 2) = \pi \left[ -\left( \ln 2 + \frac{1}{4} \right) e^{-4 \ln 2} + \left( \frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{4} \right) e^{-2 \ln 2} \right]$
利用 $e^{\ln 2^k} = 2^k$ 化简：
$V(\ln 2) = \frac{\pi (4 \ln 2 + 3)}{64}$