题目
5.设z=ln(x^2+y^2)，则.(partial z)/(partial x)|_(x=1,y=1)=_.
5.设$z=\ln(x^{2}+y^{2})$，则$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=1,y=1}=\_$.
题目解答
答案
对 $ z = \ln(x^2 + y^2) $ 求关于 $ x $ 的偏导数，得
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}
\]
代入 $ x = 1 $ 和 $ y = 1 $，得
\[
\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{x=1, y=1} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1
\]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查多元函数的偏导数计算，需要掌握链式法则的应用，以及在指定点代入求值的能力。
解题核心思路：
- 对$x$求偏导数时，将$y$视为常数，利用自然对数函数的导数公式$\frac{d}{du}\ln(u) = \frac{1}{u}$，结合链式法则进行求导。
- 代入点$(1,1)$时，需注意分母和分子的计算准确性。
破题关键点：
- 正确应用链式法则，明确对$x$求导时$y^2$为常数项，其导数为0。
- 代入数值时，避免计算错误。
步骤1：对$z = \ln(x^2 + y^2)$求关于$x$的偏导数
根据链式法则，对$\ln(u)$求导得$\frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$，其中$u = x^2 + y^2$。
因此：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$
步骤2：代入点$(x=1, y=1)$
将$x=1$和$y=1$代入偏导数表达式：
$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{x=1, y=1} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$