题目
求过平面上两点A (6,0),B(1,5 ),且圆心在直线 2x-7y+8-|||-=0 上的圆的标准方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：设圆的标准方程
设圆的标准方程为 ${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}={r}^{2}$，其中圆心为 $(a,b)$，半径为 $r$。
步骤 2：利用圆心在直线上的条件
由于圆心在直线 $2x-7y+8=0$ 上，所以圆心 $(a,b)$ 满足直线方程，即 $2a-7b+8=0$。
步骤 3：利用圆经过两点的条件
由于圆经过点 A(6,0) 和 B(1,5)，所以这两个点的坐标满足圆的标准方程，即
${(6-a)}^{2}+{(0-b)}^{2}={r}^{2}$ 和 ${(1-a)}^{2}+{(5-b)}^{2}={r}^{2}$。
步骤 4：建立方程组
根据上述条件，可以建立方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {(6-a)}^{2}+{(-b)}^{2}={r}^{2}\\ {(1-a)}^{2}+{(5-b)}^{2}={r}^{2}\\ 2a-7b+8=0\end{matrix} \right.$
步骤 5：化简方程组
将方程组中的方程展开并化简，得到：
$\left \{ \begin{matrix} {a}^{2}+{b}^{2}-12a+36={r}^{2}\\ {a}^{2}+{b}^{2}-2a-10b+26={r}^{2}\\ 2a-7b+8=0\end{matrix} \right.$
步骤 6：消去 $r^2$
将第一个方程减去第二个方程，消去 $r^2$，得到：
${a}^{2}+{b}^{2}-12a+36 - ({a}^{2}+{b}^{2}-2a-10b+26) = 0$
化简得：
$-10a+10b+10=0$
即：
$a-b-1=0$
步骤 7：解方程组
将 $a-b-1=0$ 和 $2a-7b+8=0$ 联立，解得：
$a=3$，$b=2$
步骤 8：计算半径
将 $a=3$，$b=2$ 代入任一方程，计算半径 $r$：
${(6-3)}^{2}+{(0-2)}^{2}={r}^{2}$
$9+4={r}^{2}$
$r^2=13$
$r=\sqrt{13}$
步骤 9：写出圆的标准方程
根据圆心 $(3,2)$ 和半径 $r=\sqrt{13}$，写出圆的标准方程：
${(x-3)}^{2}+{(y-2)}^{2}=13$
设圆的标准方程为 ${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}={r}^{2}$，其中圆心为 $(a,b)$，半径为 $r$。
步骤 2：利用圆心在直线上的条件
由于圆心在直线 $2x-7y+8=0$ 上，所以圆心 $(a,b)$ 满足直线方程，即 $2a-7b+8=0$。
步骤 3：利用圆经过两点的条件
由于圆经过点 A(6,0) 和 B(1,5)，所以这两个点的坐标满足圆的标准方程，即
${(6-a)}^{2}+{(0-b)}^{2}={r}^{2}$ 和 ${(1-a)}^{2}+{(5-b)}^{2}={r}^{2}$。
步骤 4：建立方程组
根据上述条件，可以建立方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {(6-a)}^{2}+{(-b)}^{2}={r}^{2}\\ {(1-a)}^{2}+{(5-b)}^{2}={r}^{2}\\ 2a-7b+8=0\end{matrix} \right.$
步骤 5：化简方程组
将方程组中的方程展开并化简，得到：
$\left \{ \begin{matrix} {a}^{2}+{b}^{2}-12a+36={r}^{2}\\ {a}^{2}+{b}^{2}-2a-10b+26={r}^{2}\\ 2a-7b+8=0\end{matrix} \right.$
步骤 6：消去 $r^2$
将第一个方程减去第二个方程，消去 $r^2$，得到：
${a}^{2}+{b}^{2}-12a+36 - ({a}^{2}+{b}^{2}-2a-10b+26) = 0$
化简得：
$-10a+10b+10=0$
即：
$a-b-1=0$
步骤 7：解方程组
将 $a-b-1=0$ 和 $2a-7b+8=0$ 联立，解得：
$a=3$，$b=2$
步骤 8：计算半径
将 $a=3$，$b=2$ 代入任一方程，计算半径 $r$：
${(6-3)}^{2}+{(0-2)}^{2}={r}^{2}$
$9+4={r}^{2}$
$r^2=13$
$r=\sqrt{13}$
步骤 9：写出圆的标准方程
根据圆心 $(3,2)$ 和半径 $r=\sqrt{13}$，写出圆的标准方程：
${(x-3)}^{2}+{(y-2)}^{2}=13$