题目
2、随机变量X,Y相互独立，其中X与Y的分布律分别为:}X&0&1p&1/3&2/3试求:1)D(X-Y);2)二维随机变量落在平面区域G=(x,y)mid X<1,Yleq1内的概率。
2、随机变量X,Y相互独立，其中X与Y的分布律分别为:$\begin{pmatrix}X&0&1\\p&1/3&2/3\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}Y&0&1&2\\p&1/3&1/6&1/2\end{pmatrix}$
试求:
1)D(X-Y);
2)二维随机变量落在平面区域$G=\{(x,y)\mid X<1,Y\leq1\}$内的概率。
题目解答
答案
为了解决给定的问题，我们需要找到 $D(X-Y)$ 并且二维随机变量 $(X, Y)$ 落在平面区域 $G = \{(x, y) \mid X < 1, Y \leq 1\}$ 内的概率。
### 第一步: 找到 $D(X-Y)$
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的随机变量，我们有以下性质:
\[D(X-Y) = D(X) + D(Y)\]
#### 找到 $D(X)$
$X$ 的分布律为:
\[
\begin{pmatrix}
X & 0 & 1 \\
p & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
首先，找到 $E(X)$:
\[
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]
接下来，找到 $E(X^2)$:
\[
E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]
现在，找到 $D(X)$:
\[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9}
\]
#### 找到 $D(Y)$
$Y$ 的分布律为:
\[
\begin{pmatrix}
Y & 0 & 1 & 2 \\
p & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
首先，找到 $E(Y)$:
\[
E(Y) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}
\]
接下来，找到 $E(Y^2)$:
\[
E(Y^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6}
\]
现在，找到 $D(Y)$:
\[
D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{13}{6} - \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{13}{6} - \frac{49}{36} = \frac{78}{36} - \frac{49}{36} = \frac{29}{36}
\]
#### 结合结果
\[
D(X-Y) = D(X) + D(Y) = \frac{2}{9} + \frac{29}{36} = \frac{8}{36} + \frac{29}{36} = \frac{37}{36}
\]
### 第二步: 找到二维随机变量 $(X, Y)$ 落在平面区域 $G = \{(x, y) \mid X < 1, Y \leq 1\}$ 内的概率
区域 $G$ 定义为 $X < 1$ 和 $Y \leq 1$。从 $X$ 的分布律中，$X < 1$ 意味着 $X = 0$。从 $Y$ 的分布律中，$Y \leq 1$ 意味着 $Y = 0$ 或 $Y = 1$。
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，概率 $P(X < 1, Y \leq 1)$ 是:
\[
P(X < 1, Y \leq 1) = P(X = 0) \cdot P(Y = 0 \text{ 或 } Y = 1) = P(X = 0) \cdot [P(Y = 0) + P(Y = 1)]
\]
从分布律中:
\[
P(X = 0) = \frac{1}{3}, \quad P(Y = 0) = \frac{1}{3}, \quad P(Y = 1) = \frac{1}{6}
\]
因此:
\[
P(Y = 0 \text{ 或 } Y = 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
所以:
\[
P(X < 1, Y \leq 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}
\]
### 最终答案
1. $D(X-Y) = \frac{37}{36}$
2. 二维随机变量 $(X, Y)$ 落在平面区域 $G$ 内的概率是 $\frac{1}{6}$。
\[
\boxed{\frac{37}{36}, \frac{1}{6}}
\]