题目

【填空题】31104B.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G=((x,y):0≤x≤1,0≤y≤1)上服从均匀分布，则P(Y≤1/3)=____，P(Y≥1/3)=____。(全部保留两位小数)

【填空题】31104B.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布，则P{Y≤1/3}=____，P{Y≥1/3}=____。(全部保留两位小数)

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要理解二维随机变量$(X, Y)$在矩形区域$G = \{(x, y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$上服从均匀分布意味着什么。这意味着$(X, Y)$的联合概率密度函数（pdf）在区域$G$内是常数，且等于区域面积的倒数。由于区域$G$的面积是$1 \times 1 = 1$，联合pdf $f(x, y)$为： \[ f(x, y) = 1 \text{ 对于 } (x, y) \in G \] ### 第一步：计算 $P\{Y \leq \frac{1}{3}\}$ 概率 $P\{Y \leq \frac{1}{3}\}$是$(X, Y)$落在区域$G$内且$Y \leq \frac{1}{3}$的区域面积。这个区域是一个长为1，宽为$\frac{1}{3}$的矩形。这个矩形的面积为： \[ 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] 由于联合pdf是1，概率等于这个区域的面积。因此， \[ P\{Y \leq \frac{1}{3}\} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \] ### 第二步：计算 $P\{Y \geq \frac{1}{3}\}$ 概率 $P\{Y \geq \frac{1}{3}\}$是$(X, Y)$落在区域$G$内且$Y \geq \frac{1}{3}$的区域面积。这个区域是一个长为1，宽为$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$的矩形。这个矩形的面积为： \[ 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \] 由于联合pdf是1，概率等于这个区域的面积。因此， \[ P\{Y \geq \frac{1}{3}\} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \] ### 最终答案 概率为： \[ P\{Y \leq \frac{1}{3}\} = 0.33 \] \[ P\{Y \geq \frac{1}{3}\} = 0.67 \] 因此，最终答案是： \[ \boxed{0.33, 0.67} \]

解析

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的概率计算，需要理解均匀分布的密度函数特性，并能通过几何区域面积求解概率。

解题核心思路：

  1. 均匀分布的密度函数：在区域$G$上，联合密度函数$f(x,y)=1$。
  2. 概率与面积的关系：所求概率等于满足条件的区域面积。
  3. 关键步骤：分别计算$Y \leq \frac{1}{3}$和$Y \geq \frac{1}{3}$对应的区域面积。

第一空：$P\{Y \leq \frac{1}{3}\}$

  1. 确定区域：$Y$的范围是$0 \leq y \leq \frac{1}{3}$，$X$的范围是$0 \leq x \leq 1$。
  2. 计算面积：区域为矩形，面积为$1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$。
  3. 结果：概率为$\frac{1}{3} \approx 0.33$。

第二空：$P\{Y \geq \frac{1}{3}\}$

  1. 确定区域：$Y$的范围是$\frac{1}{3} \leq y \leq 1$，$X$的范围是$0 \leq x \leq 1$。
  2. 计算面积：区域为矩形，面积为$1 \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$。
  3. 结果：概率为$\frac{2}{3} \approx 0.67$。