题目
42.（2.0分）向量函数Y_(1)(x)=}e^3xe^3xe^3x在(-∞,+∞)上线性无关.A 对B 错A. 对B. 错
42.（2.0分）
向量函数$Y_{1}(x)=\begin{bmatrix}e^{3x}\\e^{3x}\\e^{3x}\end{bmatrix}$，$Y_{2}(x)=\begin{bmatrix}e^{6x}\\-2e^{6x}\\e^{6x}\end{bmatrix}$在(-∞,+∞)上线性无关.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：构造子矩阵
构造由向量函数 $Y_1(x)$ 和 $Y_2(x)$ 的前两行组成的 $2 \times 2$ 子矩阵： \[ \begin{bmatrix} e^{3x} & e^{6x} \\ e^{3x} & -2e^{6x} \end{bmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算上述子矩阵的行列式： \[ \det = e^{3x} \cdot (-2e^{6x}) - e^{6x} \cdot e^{3x} = -3e^{9x} \]
步骤 3：判断线性无关性
由于 $e^{9x} \neq 0$ 对于所有 $x$，行列式恒不为零，表明向量函数线性无关。
构造由向量函数 $Y_1(x)$ 和 $Y_2(x)$ 的前两行组成的 $2 \times 2$ 子矩阵： \[ \begin{bmatrix} e^{3x} & e^{6x} \\ e^{3x} & -2e^{6x} \end{bmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算上述子矩阵的行列式： \[ \det = e^{3x} \cdot (-2e^{6x}) - e^{6x} \cdot e^{3x} = -3e^{9x} \]
步骤 3：判断线性无关性
由于 $e^{9x} \neq 0$ 对于所有 $x$，行列式恒不为零，表明向量函数线性无关。