2.判定下列函数的单调性.-|||-(1) (x)=2(x)^3-6(x)^2-18x-7;-|||-(2) (x)=2(x)^2-ln x;-|||-(3) =(x)^2(x-3);-|||-(4) =x(e)^x.

题目考察知识

函数单调性的判定，核心是利用导数：若函数$f(x)$在区间$I$上可导，则$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，$f'(x)<0$时单调递减。

各小题解题思路及步骤

(1) $f(x)=2x^3 - 6x^2 - 18x - 7$

1. 求导：$f'(x)=6x^2 - 12x - 18=6(x^2 - 2x - 3)=6(x + 1)(x - 3)$
2. 找导数零点：$x=-1$和$x=3$，分区间讨论：
   • $x < -1$时，$(x + 1)<0$，$(x - 3)<0$，$f'(x)=6×(负×负)=正>0$，递增；
   • $-1 < x < 3$时，$(x + 1)>0$，$(x - 3)<0$，$f'(x)=6×(正×负)=负<0$，递减；
   • $x > 3$时，$(x + 1)>0$，$(x - 3)>0$，$f'(x)=6×(正×正)=正>0$，递增。
3. 端点处理：导数零点处连续，区间可含端点，故递增区间$(-\infty,-1)\cup[3,+\infty)$，递减区间$[-1,3)$。

(2) $f(x)=2x^2 - \ln x$

1. 求导：$f'(x)=4x - \frac{1}{x}=\frac{4x^2 - 1}{x}$（定义域$x>0$）
2. 找导数零点：$4x^2 - 1=0⇒x=\frac{1}{2}$（$x=-\frac{1}{2}$舍去，定义域$x>0$），分区间：
   • $0 < x < \frac{1}{2}$时，$4x^2 - 1<0$，$x>0$，$f'(x)=\frac{负}{正}=负<0$，递减；
   • $x > \frac{1}{2}$时，$4x^2 - 1>0$，$x>0$，$f'(x)=\frac{正}{正}=正>0$，递增。
3. 结论：递减区间$(0,\frac{1}{2})$，递增区间$(\frac{1}{2},+\infty)$。

(3) $y=x^2(x - 3)=x^3 - 3x^2$

1. 求导：$y'=3x^2 - 6x=3x(x - 2)$
2. 找导数零点：$x=0$和$x=2$，分区间：
   • $x < 0$时，$3x<0$，$x - 2<0$，$y'=3×(负×负)=正>0$，递增；
   • $0 < x < 2$时，$3x>0$，$x - 2<0$，$y'=3×(正×负)=负<0$，递减；
   • $x > 2$时，$3x>0$，$x - 2>0$，$y'=3×(正×正)=正>0$，递增。
3. 结论：递增区间$(-\infty,0)\cup[2,+\infty)$，递减区间$[0,2)$。

(4) $y=xe^x$

1. 求导：$y'=e^x + xe^x=e^x(x + 1)$（$e^x>0$恒成立）
2. 找导数零点：$x + 1=0⇒x=-1$，分区间：
   • $x < -1$时，$x + 1<0$，$e^x>0$，$y'=正×负=负<0$，递减；
   • $x > -1$时，$x + 1>0$，$e^x>0$，$y'=正×正=正>0$，递增。
3. 结论：递增区间$(-1,+\infty)$，递减区间$(-\infty,-1)$。