题目
8.设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=}(1-e^-4x)(1-e^-2y),&x>0,y>0,0,&其他.求X和Y的联合密度函数及边缘密度函数.
8.设随机变量(X,Y)的分布函数为
$F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-4x})(1-e^{-2y}),&x>0,y>0,\\0,&其他.\end{cases}$
求X和Y的联合密度函数及边缘密度函数.
题目解答
答案
为了求随机变量 $ (X, Y) $ 的联合密度函数和边缘密度函数，我们首先从联合分布函数 $ F(x, y) $ 开始。
### 联合密度函数
联合密度函数 $ f(x, y) $ 可以通过联合分布函数 $ F(x, y) $ 对 $ x $ 和 $ y $ 求二阶偏导数得到。给定的联合分布函数为：
\[ F(x, y) = \begin{cases} (1-e^{-4x})(1-e^{-2y}), & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
对于 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $，我们有：
\[ F(x, y) = (1-e^{-4x})(1-e^{-2y}). \]
首先，对 $ F(x, y) $ 关于 $ x $ 求偏导数：
\[ \frac{\partial F(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (1-e^{-4x})(1-e^{-2y}) \right] = 4e^{-4x}(1-e^{-2y}). \]
接下来，对结果关于 $ y $ 求偏导数：
\[ \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ 4e^{-4x}(1-e^{-2y}) \right] = 4e^{-4x} \cdot 2e^{-2y} = 8e^{-4x-2y}. \]
因此，联合密度函数 $ f(x, y) $ 为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 8e^{-4x-2y}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
### 边缘密度函数
#### $ X $ 的边缘密度函数
$ X $ 的边缘密度函数 $ f_X(x) $ 可以通过将联合密度函数 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 在 $ -\infty $ 到 $ \infty $ 积分得到。由于 $ f(x, y) $ 只在 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $ 时非零，我们有：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy = \int_{0}^{\infty} 8e^{-4x-2y} \, dy. \]
计算积分：
\[ f_X(x) = 8e^{-4x} \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy = 8e^{-4x} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2y} \right]_{0}^{\infty} = 8e^{-4x} \cdot \frac{1}{2} = 4e^{-4x}. \]
因此， $ X $ 的边缘密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 4e^{-4x}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
#### $ Y $ 的边缘密度函数
$ Y $ 的边缘密度函数 $ f_Y(y) $ 可以通过将联合密度函数 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 在 $ -\infty $ 到 $ \infty $ 积分得到。由于 $ f(x, y) $ 只在 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $ 时非零，我们有：
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx = \int_{0}^{\infty} 8e^{-4x-2y} \, dx. \]
计算积分：
\[ f_Y(y) = 8e^{-2y} \int_{0}^{\infty} e^{-4x} \, dx = 8e^{-2y} \left[ -\frac{1}{4} e^{-4x} \right]_{0}^{\infty} = 8e^{-2y} \cdot \frac{1}{4} = 2e^{-2y}. \]
因此， $ Y $ 的边缘密度函数为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
### 最终答案
联合密度函数为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 8e^{-4x-2y}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
边缘密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 4e^{-4x}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
\[ f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
\[
\boxed{f(x, y) = \begin{cases} 8e^{-4x-2y}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}, \quad f_X(x) = \begin{cases} 4e^{-4x}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}, \quad f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查联合分布函数与联合密度函数、边缘密度函数之间的转换关系，以及指数分布的识别。
解题核心思路：
- 联合密度函数：通过对联合分布函数 $F(x,y)$ 连续两次求偏导得到，即 $f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$。
- 边缘密度函数：通过联合密度函数对另一变量积分得到，例如 $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy$。
破题关键点：
- 分布函数的分解形式：题目中 $F(x,y) = (1-e^{-4x})(1-e^{-2y})$ 在 $x>0,y>0$ 时成立，说明 $X$ 和 $Y$ 独立，且各自服从指数分布。
- 指数函数的导数与积分性质：对 $e^{-kx}$ 求导或积分时，结果可直接应用公式简化计算。
联合密度函数
- 求偏导：
对 $F(x,y)$ 先对 $x$ 求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(1-e^{-4x}\right)(1-e^{-2y}) = 4e^{-4x}(1-e^{-2y}).$
再对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(4e^{-4x}(1-e^{-2y})\right) = 8e^{-4x-2y}.$
因此，联合密度函数为：
$f(x,y) = \begin{cases} 8e^{-4x-2y}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
边缘密度函数
$X$ 的边缘密度 $f_X(x)$
- 积分消去 $y$：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{\infty} 8e^{-4x-2y} \, dy.$ - 计算积分：
$f_X(x) = 8e^{-4x} \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy = 8e^{-4x} \cdot \frac{1}{2} = 4e^{-4x} \quad (x>0).$
$Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$
- 积分消去 $x$：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{\infty} 8e^{-4x-2y} \, dx.$ - 计算积分：
$f_Y(y) = 8e^{-2y} \int_{0}^{\infty} e^{-4x} \, dx = 8e^{-2y} \cdot \frac{1}{4} = 2e^{-2y} \quad (y>0).$