题目
7.平面区域D=(x,y)mid(x)/(2)leq yleq(1)/(1+x^2),0leq xleq 1，则D绕y轴旋转所成的旋转体的体积为_____.
7.平面区域$D=\left\{(x,y)\mid\frac{x}{2}\leq y\leq\frac{1}{1+x^{2}},0\leq x\leq 1\right\}$，则D绕y轴旋转所成的旋转体的体积为_____.
题目解答
答案
将区域 $ D $ 绕 $ y $-轴旋转，使用圆柱壳法计算体积。
1. **圆柱壳法公式**：
\[
V = 2\pi \iint_D x \, dA
\]
其中 $ dA = dx \, dy $，区域 $ D $ 由 $ \frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1+x^2} $ 和 $ 0 \leq x \leq 1 $ 定义。
2. **积分计算**：
\[
V = 2\pi \int_{0}^{1} \int_{\frac{x}{2}}^{\frac{1}{1+x^2}} x \, dy \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{x}{2} \right) \, dx
\]
分解积分：
\[
V = 2\pi \left( \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx \right)
\]
第一个积分使用代换 $ u = 1 + x^2 $，得 $ \frac{1}{2} \ln 2 $；第二个积分得 $ \frac{1}{6} $。
3. **结果**：
\[
V = 2\pi \left( \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{6} \right) = \pi \ln 2 - \frac{\pi}{3}
\]
**答案**：$\boxed{\pi \ln 2 - \frac{\pi}{3}}$
解析
本题考查利用圆柱壳法求平面区域绕$y$轴旋转所成旋转体的体积。解题思路是先明确圆柱壳法的体积公式，再根据给定的平面区域确定积分限，将二重积分转化为累次积分进行计算，最后分别求解两个定积分得出结果。
- 确定圆柱壳法公式：
- 对于平面区域$D$绕$y$轴旋转所成的旋转体体积，使用圆柱壳法，公式为$V = 2\pi\iint_D x\,dA$，其中$dA = dx\,dy$。
- 已知平面区域$D=\left\{(x,y)\mid\frac{x}{2}\leq y\leq\frac{1}{1+x^{2}},0\leq x\leq 1\right\}$，则体积$V$可表示为$V = 2\pi\int_{0}^{1}\int_{\frac{x}{2}}^{\frac{1}{1 + x^{2}}}x\,dy\,dx$。
- 计算内层积分：
- 先对$y$积分，$\int_{\frac{x}{2}}^{\frac{1}{1 + x^{2}}}x\,dy$，此时$x$看作常数，根据定积分公式$\int_{a}^{b}kdy=k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{\frac{x}{2}}^{\frac{1}{1 + x^{2}}}x\,dy=x\left[\ y\right]_{\frac{x}{2}}^{\frac{1}{1 + x^{2}}}=x\left(\frac{1}{1 + x^{2}}-\frac{x}{2}\right)$。
- 所以$V = 2\pi\int_{0}^{1}x\left(\frac{1}{1 + x^{2}}-\frac{x}{2}\right)dx$。
- 分解积分并分别计算：
- 将$V = 2\pi\int_{0}^{1}x\left(\frac{1}{1 + x^{2}}-\frac{x}{2}\right)dx$展开为$V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}\frac{x}{1 + x^{2}}dx-\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}dx\right)$。
- 计算$\int_{0}^{1}\frac{x}{1 + x^{2}}dx$：
- 令$u = 1 + x^{2}$，则$du = 2xdx$，当$x = 0$时，$u = 1$；当$x = 1$时，$u = 2$。
- $\int_{0}^{1}\frac{x}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du$。
- 根据定积分公式$\int_{a}^{b}\frac{1}{u}du=\left[\ln u\right]_{a}^{b}$，可得$\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}[\ln u]_{1}^{2}=\frac{1}{2}(\ln 2-\ln 1)=\frac{1}{2}\ln 2$。
- 计算$\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}dx$：
- 根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^{n}dx=\left[\frac{x^{n + 1}}{n+1}\right]_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），可得$\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}dx=\frac{1}{2}\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
- 计算最终体积：
- 将上述两个积分结果代入$V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}\frac{x}{1 + x^{2}}dx-\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}dx\right)$，可得$V = 2\pi\left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{6}\right)$。
- 展开式子得$V=\pi\ln 2-\frac{\pi}{3}$。