当x→0+时,sqrt (x+sqrt {x)}是x_________阶的无穷小.正确答案:低

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较方法，即通过极限判断两个无穷小量的阶数关系。

解题核心思路：
比较两个无穷小量的阶数，通常计算它们的比值的极限。若极限为0，则分子是分母的高阶无穷小；若极限为无穷大，则分子是分母的低阶无穷小；若极限为非零常数，则同阶。

破题关键点：

1. 正确分解表达式：将$\sqrt{x+\sqrt{x}}$中的根号部分进行因式分解，提取出$x$的因子。
2. 简化分式：将分式$\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}$转化为更易求极限的形式。
3. 判断极限性质：通过分析简化后的表达式，确定极限是否为无穷大，从而得出阶数关系。

步骤1：分解根号内的表达式
将$\sqrt{x+\sqrt{x}}$中的根号部分分解：
$x + \sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + 1)$
因此，原式可写为：
$\sqrt{x+\sqrt{x}} = \sqrt{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + 1)} = \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{x} + 1} = x^{1/4} \cdot \sqrt{\sqrt{x} + 1}$

步骤2：构造分式并简化
将分式$\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}$代入分解后的表达式：
$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} = \frac{x^{1/4} \cdot \sqrt{\sqrt{x} + 1}}{x} = \frac{\sqrt{\sqrt{x} + 1}}{x^{3/4}}$

步骤3：求极限
当$x \to 0^+$时，$\sqrt{x} \to 0$，因此$\sqrt{\sqrt{x} + 1} \to \sqrt{0 + 1} = 1$，而分母$x^{3/4} \to 0$。此时分式趋近于$\dfrac{1}{0}$，即极限为无穷大：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{\sqrt{x} + 1}}{x^{3/4}} = +\infty$

结论：
由于分式极限为无穷大，说明$\sqrt{x+\sqrt{x}}$是$x$的低阶无穷小。