题目

一刚性绝热容器，容积 V = 0.028 , (m)^3，原先装有压力为 0.1 , (MPa)、温度为 21 , (℃) 的空气。现将连接此容器与输气管道的阀门打开，向容器内快速充气。设输气管道内气体的状态参数保持 p = 0.7 , (MPa)、t = 21 , (℃) 不变。当容器中压力达到 0.2 , (MPa) 时阀门关闭，求容器内气体可能达到的最高温度。设空气可视为理想气体，其热力学能与温度的关系为 u = 0.72 , ([T])_(K) , (kJ/kg)，焓与温度的关系为 h = 1.005 , ([T])_(K) , (kJ/kg)。

一刚性绝热容器，容积 $V = 0.028 \, \text{m}^3$，原先装有压力为 $0.1 \, \text{MPa}$、温度为 $21 \, \text{℃}$ 的空气。现将连接此容器与输气管道的阀门打开，向容器内快速充气。设输气管道内气体的状态参数保持 $p = 0.7 \, \text{MPa}$、$t = 21 \, \text{℃}$ 不变。当容器中压力达到 $0.2 \, \text{MPa}$ 时阀门关闭，求容器内气体可能达到的最高温度。设空气可视为理想气体，其热力学能与温度的关系为 $u = 0.72 \, \text{[T]}_\text{K} \, \text{kJ/kg}$，焓与温度的关系为 $h = 1.005 \, \text{[T]}_\text{K} \, \text{kJ/kg}$。

题目解答

答案

根据质量守恒和能量守恒，可得： \[ 0.72 (p_2 - p_1) = 1.005 \times 294 \left( \frac{p_2}{T_2} - \frac{p_1}{T_1} \right) \] 将 $ p_1 = 0.1 \, \text{MPa} $，$ p_2 = 0.2 \, \text{MPa} $，$ T_1 = 294 \, \text{K} $ 代入： \[ 0.072 = 295.47 \left( \frac{0.2}{T_2} - 0.00034 \right) \] 解得： \[ T_2 = \frac{59.094}{0.17246} \approx 342.6 \, \text{K} \] 因此，容器内气体可能达到的最高温度为 $ T_2 \approx 342.6 \, \text{K} $。 答案：$ T_2 \approx 342.6 \, \text{K} $。

解析

本题考查理想气体的质量守恒定律、能量守恒定律以及状态方程的应用，解题的关键在于根据绝热快速充气过程的特点，结合质量守恒和能量守恒建立方程，进而求解容器内气体的最高温度。

  1. 确定初始状态参数：
    • 已知初始压力$p_1 = 0.1 \, \text{MPa}$，初始温度$t_1 = 21 \, \text{℃}$，将其转化为热力学温度$T_1 = t_1 + 273 = 21 + 273 = 294 \, \text{K}$，容器容积$V = 0.028 \, \text{m}^3$。
    • 输气管道内气体状态参数为$p = 0.7 \, \text{MPa}$，$t = 21 \, \text{℃}$，即$T = 294 \, \text{K}$。
    • 当阀门关闭时，容器内压力$p_2 = 0.2 \, \text{MPa}$。
  2. 根据质量守恒定律：
    • 设初始时容器内气体质量为$m_1$，充气后容器内气体质量为$m_2$，充入的气体质量为$\Delta m$，则$\Delta m = m_2 - m_1$。
    • 对于理想气体，由理想气体状态方程$pV = mRT$（本题中$R$可根据$u = 0.72T$和$h = 1.005T$，利用$h - u = p v=RT$求出$R=1.005 - 0.72 = 0.285\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$）可得$m_1=\frac{p_1V}{RT_1}$，$m_2=\frac{p_2V}{RT_2}$，$\Delta m=\frac{pV}{RT}$。
    • 所以$\frac{pV}{RT}=\frac{p_2V}{RT_2}-\frac{p_1V}{RT_1}$，两边同时约去$V/R$，得到$\frac{p}{T}=\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}$。
  3. 根据能量守恒定律：
    • 由于容器绝热$Q = 0$，快速充气过程可近似看作绝热过程，且外界对系统做功$W$等于充入气体的焓$H_{in}$，系统内能增加$\Delta U = U_2 - U_1$。
    • 已知$u = 0.72T$，$h = 1.005T$，则$U_1 = m_1u_1=\frac{p_1V}{RT_1}\times0.72T_1=\frac{0.72p_1V}{R}$，$U_2 = m_2u_2=\frac{p_2V}{RT_2}\times0.72T_2=\frac{0.72p_2V}{R}$，$H_{in}=\Delta m h=\frac{pV}{RT}\times1.005T=\frac{1.005pV}{R}$。
    • 由$W=\Delta U$可得$\frac{1.005pV}{R}=\frac{0.72p_2V}{R}-\frac{0.72p_1V}{R}$，两边同时约去$V/R$，得到$1.005p = 0.72(p_2 - p_1)$。
    • 又因为$\frac{p}{T}=\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}$，将$p = 0.7 \, \text{MPa}$，$T = 294 \, \text{K}$代入可得$\frac{0.7}{294}=\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}$。
    • 把$1.005p = 0.72(p_2 - p_1)$变形为$p=\frac{0.72(p_2 - p_1)}{1.005}$，代入$\frac{p}{T}=\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}$中，得到$\frac{0.72(p_2 - p_1)}{1.005T}= \frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}$。
    • 已知$u = 0.72T$，$h = 1.005T$，则能量守恒方程可写为$0.72(p_2 - p_1)=1.005T\left(\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}\right)$。
  4. 代入数据求解$T_2$：
    • 将$p_1 = 0.1 \, \text{MPa}$，$p_2 = 0.2 \, \text{MPa}$，$T_1 = 294 \, \text{K}$，$T = 294 \, \text{K}$代入$0.72(p_2 - p_1)=1.005T\left(\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}\right)$中，可得：
      $\begin{align*}0.72\times(0.2 - 0.1)&=1.005\times294\times\left(\frac{0.2}{T_2}-\frac{0.1}{294}\right)\\0.072&=295.47\times\left(\frac{0.2}{T_2}- 0.00034\right)\\\frac{0.072}{295.47}&=\frac{0.2}{T_2}- 0.00034\\0.000244&=\frac{0.2}{T_2}- 0.00034\\\frac{0.2}{T_2}&=0.000244 + 0.00034\\\frac{0.2}{T_2}&=0.000584\\T_2&=\frac{0.2}{0.000584}\\T_2&=\frac{59.094}{0.17246}\\T_2&\approx342.6 \, \text{K}\end{align*}$