4.(单选题，5分)设A满足A²-A-2E=0，则A与A+2E=()A. A可逆，但A+2E不可逆B. A不可逆，但A+2E可逆C. A可逆，且A+2E可逆D. 无法判断

本题考查矩阵可逆的判定，解题思路是根据已知等式推导出矩阵$A$和$A + 2E$分别与其他矩阵相乘等于单位矩阵$E$的形式，再依据矩阵可逆的定义来判断它们是否可逆。

1. 判断矩阵$A$是否可逆

已知$A^{2}-A - 2E = 0$，对等式进行变形可得：
$A^{2}-A=2E$
提取公因式$A$，得到$A(A - E)=2E$。
等式两边同时乘以$\frac{1}{2}$，可得$A\cdot\frac{1}{2}(A - E)=E$。
根据矩阵可逆的定义：若存在矩阵$B$，使得$AB = BA = E$，则称矩阵$A$可逆，且$A^{-1}=B$。
在这里$B = \frac{1}{2}(A - E)$，所以矩阵$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{2}(A - E)$。

2. 判断矩阵$A + 2E$是否可逆

由$A^{2}-A - 2E = 0$，我们要构造出含有$A + 2E$的式子。
设$A^{2}-A - 2E=(A + 2E)(A + mE)+nE$（其中$m$、$n$为待求常数）。
将$(A + 2E)(A + mE)+nE$展开：
$\begin{align*}(A + 2E)(A + mE)+nE&=A^{2}+mA+2A + 2mE + nE\\&=A^{2}+(m + 2)A+(2m + n)E\end{align*}$
因为$A^{2}-A - 2E=A^{2}+(m + 2)A+(2m + n)E$，所以可得方程组$\begin{cases}m + 2=-1\\2m + n=-2\end{cases}$。
解第一个方程$m + 2=-1$，可得$m=-1 - 2=-3$。
将$m = -3$代入第二个方程$2m + n=-2$，得到$2\times(-3)+n=-2$，即$-6 + n=-2$，解得$n = -2 + 6 = 4$。
所以$A^{2}-A - 2E=(A + 2E)(A - 3E)+4E$，又因为$A^{2}-A - 2E = 0$，则$(A + 2E)(A - 3E)+4E = 0$。
移项可得$(A + 2E)(A - 3E)=-4E$。
等式两边同时乘以$-\frac{1}{4}$，得到$(A + 2E)\cdot(-\frac{1}{4})(A - 3E)=E$。
根据矩阵可逆的定义，可知矩阵$A + 2E$可逆，且$(A + 2E)^{-1}=-\frac{1}{4}(A - 3E)$。

综上，$A$可逆，且$A + 2E$可逆。