求长度为L的金属杆在均匀磁场stackrel(harpoonup )(B)中绕平行于磁场方向的定轴OO'转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场stackrel(harpoonup )(B)的方位角为theta ，杆的角速度为omega ，转向如图所示。B-|||-θ 五-|||-o

考查要点：本题主要考查动生电动势的计算，涉及磁场中导体旋转时的电势分布。关键在于理解导体切割磁感线的运动方式，并正确应用微分积分法求解总电动势。

解题核心思路：

1. 明确几何关系：杆绕平行于磁场方向的轴旋转，杆与磁场方向的夹角为$\theta$，端点到轴的距离为$L\sin\theta$。
2. 微分法：将杆分为无数微小段，计算每段产生的电动势，再积分求和。
3. 洛伦兹力与电场关系：导体中自由电荷受洛伦兹力作用，形成电场，电动势由该电场沿杆积分得到。

破题关键点：

• 正确建立坐标关系：杆的端点到轴的距离为$L\sin\theta$，而非$L$，这是出现$\sin^2\theta$的关键。
• 积分变量转换：将沿杆的长度积分转换为沿半径的积分，简化计算。

步骤1：确定微小段的电动势

将杆分为无数微小段，每段到轴的距离为$r = x\sin\theta$（$x$为沿杆的长度，从$0$到$L$）。
每段的速度大小为$v = \omega r = \omega x\sin\theta$，方向垂直于磁场$\vec{B}$，故电动势微分为：
$d\varepsilon = vB \, dx = \omega x\sin\theta \cdot B \, dx$

步骤2：积分求总电动势

总电动势为各微小段电动势的积分：
$\varepsilon = \int_0^L \omega B x\sin\theta \, dx = \omega B\sin\theta \int_0^L x \, dx$
计算积分得：
$\int_0^L x \, dx = \frac{1}{2}L^2$
因此总电动势为：
$\varepsilon = \frac{1}{2}B\omega L^2\sin^2\theta$