题目

11.已知Asubset B,P(A)=0.4,P(B)=0.6,求P(B|overline(A)),P(A∪overline(B)).

11.已知$A\subset B,P(A)=0.4,P(B)=0.6$,求$P(B|\overline{A}),P(A∪\overline{B})$.

题目解答

答案

已知 $ A \subset B $，$ P(A) = 0.4 $，$ P(B) = 0.6 $。 1. **求 $ P(B|\overline{A}) $**： \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.6, \quad P(B \cap \overline{A}) = P(B) - P(A) = 0.2 \] \[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \] 2. **求 $ P(A \cup \overline{B}) $**： \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.4, \quad P(A \cap \overline{B}) = 0 \quad (\text{因 } A \subset B) \] \[ P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.4 + 0.4 = 0.8 = \frac{4}{5} \] **答案**： \[ \boxed{\frac{1}{3}, \frac{4}{5}} \]

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算和事件关系的应用，涉及子集关系对概率的影响，以及并集概率的加法公式。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：利用$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$，结合$A \subset B$的条件简化计算。
  2. 事件关系分析：由于$A \subset B$，$A$与$\overline{B}$互斥，即$P(A \cap \overline{B}) = 0$，从而简化并集概率的计算。

破题关键点：

  • 子集关系的应用：明确$A \subset B$意味着$A$发生时$B$必然发生，且$B$可分解为$A$和$B \setminus A$两部分。
  • 互斥事件的判断：$A$与$\overline{B}$不可能同时发生，直接得出交集概率为0。

1. 求$P(B|\overline{A})$

步骤1：计算$P(\overline{A})$

根据概率的补集性质：
$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$

步骤2：计算$P(B \cap \overline{A})$

由于$A \subset B$，$B$可分解为$A$和$B \setminus A$两部分，且互斥：
$P(B) = P(A) + P(B \cap \overline{A}) \implies P(B \cap \overline{A}) = P(B) - P(A) = 0.6 - 0.4 = 0.2$

步骤3：代入条件概率公式

$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$

2. 求$P(A \cup \overline{B})$

步骤1：计算$P(\overline{B})$

根据概率的补集性质：
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$

步骤2：分析$P(A \cap \overline{B})$

由于$A \subset B$，若$A$发生，则$B$必然发生，因此：
$P(A \cap \overline{B}) = 0$

步骤3：应用加法公式

$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.4 + 0.4 - 0 = 0.8 = \frac{4}{5}$