8、 lim _(narrow infty )n(q)^n(0lt qlt 1,nin N)

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是洛必达法则的应用，以及对未定式形式的识别与处理。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，$n$趋向于无穷大，而$q^n$（$0 < q < 1$）趋向于0，此时极限形式为$\infty \cdot 0$型未定式。需将其转化为$\frac{\infty}{\infty}$或$\frac{0}{0}$型，进而应用洛必达法则求解。

破题关键点：

1. 构造分式形式：将$n q^n$改写为$\frac{n}{q^{-n}}$，使其符合洛必达法则的使用条件。
2. 求导分析：对分子和分母分别求导，通过极限运算判断最终结果。

步骤1：构造分式形式
将原式改写为：
$\lim_{n \to \infty} n q^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{q^{-n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(1/q)^n}$
此时，分子$n \to \infty$，分母$(1/q)^n \to \infty$（因$1/q > 1$），形式为$\frac{\infty}{\infty}$，满足洛必达法则条件。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dn} (n) = 1$
• 分母导数：$\frac{d}{dn} \left( (1/q)^n \right) = (1/q)^n \ln(1/q)$

因此，极限变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1/q)^n \ln(1/q)}$

步骤3：分析极限结果
由于$1/q > 1$，$(1/q)^n \to \infty$，而$\ln(1/q) > 0$（因$1/q > 1$），故分母整体趋向于$+\infty$，从而：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1/q)^n \ln(1/q)} = 0$

结论：原极限值为$0$。