题目
已知 F(s)= (e^-s)/(s(2s+1))，则 f(t)= ()A. [1-e^-(t-1)/2]u(t)B. [1-e^-(t-1)/2]u(t-1)C. [1-2e^-(t-1)/2]u(t)D. [1-2e^-(t-1)/2]u(t-1)
已知 $F(s)= \frac{e^{-s}}{s(2s+1)}$，则 $f(t)= ()$
A. $[1-e^{-(t-1)/2}]u(t)$
B. $[1-e^{-(t-1)/2}]u(t-1)$
C. $[1-2e^{-(t-1)/2}]u(t)$
D. $[1-2e^{-(t-1)/2}]u(t-1)$
题目解答
答案
B. $[1-e^{-(t-1)/2}]u(t-1)$
解析
步骤 1：部分分式分解
将 $F(s)$ 分解为两部分，其中 $\frac{1}{s(2s+1)}$ 进行部分分式分解得：
\[ \frac{1}{s(2s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{2}} \]
步骤 2：拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯逆变换性质，先求：
\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{2}} \right\} = 1 - e^{-\frac{t}{2}} \]
步骤 3：应用时移性质
再应用时移性质（$e^{-s}$ 表示时移1）：
\[ f(t) = \left[ 1 - e^{-\frac{t-1}{2}} \right] u(t-1) \]
将 $F(s)$ 分解为两部分，其中 $\frac{1}{s(2s+1)}$ 进行部分分式分解得：
\[ \frac{1}{s(2s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{2}} \]
步骤 2：拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯逆变换性质，先求：
\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{2}} \right\} = 1 - e^{-\frac{t}{2}} \]
步骤 3：应用时移性质
再应用时移性质（$e^{-s}$ 表示时移1）：
\[ f(t) = \left[ 1 - e^{-\frac{t-1}{2}} \right] u(t-1) \]