题目
[题目] lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt {3-x)-sqrt (1+x)}({x)^2+x-2}= __
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：分子有理化
对分子部分的有理式 $\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}$ 进行有理化，得到 $\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}=\dfrac {2-2x}{\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x}}$。
步骤 2：代入有理化后的表达式
将有理化后的表达式代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}}{{x}^{2}+x-2}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2-2x}{(\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x})({x}^{2}+x-2)}$。
步骤 3：化简并求极限
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2-2x}{(\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x})({x}^{2}+x-2)}=\dfrac {1}{2\sqrt {2}}\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2(1-x)}{(x-1)(x+2)}$，进一步化简得到 $-\dfrac {1}{\sqrt {2}}\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1}{x+2}$，最后求得极限值为 $-\dfrac {\sqrt {2}}{6}$。
对分子部分的有理式 $\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}$ 进行有理化，得到 $\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}=\dfrac {2-2x}{\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x}}$。
步骤 2：代入有理化后的表达式
将有理化后的表达式代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {3-x}-\sqrt {1+x}}{{x}^{2}+x-2}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2-2x}{(\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x})({x}^{2}+x-2)}$。
步骤 3：化简并求极限
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2-2x}{(\sqrt {3-x}+\sqrt {1+x})({x}^{2}+x-2)}=\dfrac {1}{2\sqrt {2}}\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2(1-x)}{(x-1)(x+2)}$，进一步化简得到 $-\dfrac {1}{\sqrt {2}}\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1}{x+2}$，最后求得极限值为 $-\dfrac {\sqrt {2}}{6}$。