题目
用性质判断下列级数的收敛性.-|||-(dfrac (1)(6)+dfrac (8)(9))+(dfrac (1)({6)^2}+dfrac ({8)^2}({9)^2})+(dfrac (1)({6)^3}+dfrac ({8)^3}({9)^3})+... ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析级数结构
级数 $(\dfrac {1}{6}+\dfrac {8}{9})+(\dfrac {1}{{6}^{2}}+\dfrac {{8}^{2}}{{9}^{2}})+(\dfrac {1}{{6}^{3}}+\dfrac {{8}^{3}}{{9}^{3}})+\cdots $ 可以分解为两个级数之和：$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {1}{6})}^{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {8}{9})}^{n}$。
步骤 2：判断每个级数的收敛性
$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {1}{6})}^{n}$ 是一个公比为 $\dfrac {1}{6}$ 的几何级数，由于 $|\dfrac {1}{6}|<1$，所以该级数收敛。
$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {8}{9})}^{n}$ 是一个公比为 $\dfrac {8}{9}$ 的几何级数，由于 $|\dfrac {8}{9}|<1$，所以该级数也收敛。
步骤 3：利用级数收敛的性质
由于两个级数都收敛，根据级数收敛的性质，它们的和也收敛。
级数 $(\dfrac {1}{6}+\dfrac {8}{9})+(\dfrac {1}{{6}^{2}}+\dfrac {{8}^{2}}{{9}^{2}})+(\dfrac {1}{{6}^{3}}+\dfrac {{8}^{3}}{{9}^{3}})+\cdots $ 可以分解为两个级数之和：$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {1}{6})}^{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {8}{9})}^{n}$。
步骤 2：判断每个级数的收敛性
$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {1}{6})}^{n}$ 是一个公比为 $\dfrac {1}{6}$ 的几何级数，由于 $|\dfrac {1}{6}|<1$，所以该级数收敛。
$\sum _{n=1}^{\infty }{(\dfrac {8}{9})}^{n}$ 是一个公比为 $\dfrac {8}{9}$ 的几何级数，由于 $|\dfrac {8}{9}|<1$，所以该级数也收敛。
步骤 3：利用级数收敛的性质
由于两个级数都收敛，根据级数收敛的性质，它们的和也收敛。