题目
2.交换三阶方阵A的第1列和第2列得矩阵B,再把B的第1列乘以5加到B的第2列得到C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q是____;
2.交换三阶方阵A的第1列和第2列得矩阵B,再把B的第1列乘以5加到B的第2列得到C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q是____;
题目解答
答案
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列交换操作
交换矩阵 $A$ 的第1列与第2列,等价于右乘初等矩阵:
$E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
得到中间矩阵 $B = A E_1$。 -
列加法操作
将 $B$ 的第1列乘以5后加到第2列,等价于右乘初等矩阵:
$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
得到最终矩阵 $C = B E_2$。 -
合并变换
由 $C = (A E_1) E_2 = A (E_1 E_2)$,可知所求矩阵为:
$Q = E_1 E_2$ -
计算结果
计算得:
$Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$