单选题（共30题，60.0分） 27.（2.0分）欧拉方程x^2y^primeprime-xy^prime=x^3的通解为（）A. (4)/(3)x^3+(C_(1)+C_(2)x)B. (2)/(3)x^3+(C_(1)+C_(2)lnx)xC. (1)/(3)x^3+C_(1)x^2+C_(2)D. x^3+C_(1)x^2

本题考查欧拉方程的求解方法。欧拉方程的一般形式为$x^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1 x y' + a_0 y = f(x)$，其解法是通过变量替换$t = \ln x$（即$x = e^t$）将其转化为常系数线性微分方程，再求解。

步骤1：识别方程类型并作变量替换**

题目中的方程为$x^2 y'' - x y' = x^3$，是二阶欧拉方程。令$t = \ln x$（$x > 0$），则：

• $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt}$，记$D = \frac{d}{dt}$，则$x y' = D y$；
• $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} D y\right) = -\frac{1}{x^2} D y + \frac{1}{x} D\left(D y\right) = \frac{1}{x^2}(D^2 y - D y)$，故$x^2 y'' = D(D - 1)y$。

步骤2：转化为常系数方程并求解

代入原方程得：
$D(D - 1)y - D y = e^{3t}$
化简左边：
$D^2 y - D y - D y = D^2 y - 2D y$
即$y''_t - 2y'_t = e^{3t}$（记$y_t = y(t)$）。

求齐次方程通解

特征方程为$r^2 - 2r = 0$，根为$r_1 = 0$，$r_2 = 2$，故齐次通解为：
$Y = C_1 e^{0 \cdot t} + C_2 e^{2t} = C_1 + C_2 x^2$ （因$e^t = x$，$e^{2t} = x^2$）。

求非齐次方程特解

非齐次项$f(t) = e^{3t}$，$3$不是特征根，设特解$y^* = A e^{3t}$，代入方程：
$(9A - 6A)e^{3t} = e^{3t} \implies 3A = 1 \implies A = \frac{1}{3}$，故$y^* = \frac{1}{3}x^3$（$e^{3t} = x^3$）。

步骤3：合并通解

原方程通解为$y = y^* + Y = \frac{1}{3}x^3 + C_1 + C_2 x^2$，与选项C一致。