题目

当时, 是比高阶的无穷小, 则 ()

当 $x\rightarrow0^+$ 时, $(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(e+ax+bx^2\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则 ()

$(A)a=\frac{e}{2},b=-\frac{11}{24}e.$

$(B)a=-\frac{e}{2},b=\frac{11}{24}e.$

$(C)a=e,b=\frac{e}{2}.$

$(D)a=e,b=-\frac{e}{2}.$

题目解答

答案

$(1+x)^{\frac{1}{x}}-(e+ax+bx^2)$ 比 $x^2$ 高阶的无穷小则

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(e+ax+bx^2)}{x^{2}}=0$ $=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}-\left(e+ax+bx^2\right)}{x^2}$ 。其中 $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{5}+o\left(x^3\right)$ ,所以 $\frac{1}{x}\ln(1+x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o\left(x^2\right)$ 。又因为 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$ ，所以 $e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}=1+\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}\right)+o\left(x^2\right)$ $=\frac{5}{2}-x+\frac{19}{24}x^2+o\left(x^2\right)$ 。因此 $原式=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{5}{2}-x+\frac{19}{24} x^{2}-e-a x-b x^{2}+0\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=0$ ，所以 $b=\frac{11}{24}e,\quad a=-\frac{e}{2}$ ，选择（B）

当 时, 是比 高阶的无穷小, 则 ()

题目解答

答案

当时, 是比高阶的无穷小, 则 ()